2013届广东省高二上学期期末考试理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

下列说法正确的是（   ）

   A．命题“若”的逆命题是真命题

   B．命题“”的否定是“”

    C．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题

    D．的充分不必要条件

2. 难度：中等

以正方体的顶点D为坐标原点O，建立如图空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（   ）

A．  B． C． D．

3. 难度：中等

阅读右边的程序框图，若输出S的值为52，则判断框内可以填写（   ）

    A．          B．

    C．   D．

4. 难度：中等

已知若三个向量共面，则实数（     ）

A．-1      B．0      C．1        D．5

5. 难度：中等

设函数,若,则的值为(     )

A．      B．    C．     D．

6. 难度：中等

已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为（    ）

    A．           B．   C．       D．

7. 难度：中等

对于上可导的任意函数，若满足则必有（    ）

A．                B．

C．     D．

8. 难度：中等

如图，在等腰梯形中，，且. 设，，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，则(   )

A．随着角度的增大，增大，为定值

B．随着角度的增大，减小，为定值

C．随着角度的增大，增大，也增大

D．随着角度的增大，减小，也减小

二、填空题

9. 难度：中等

复数(是虚数单位)的虚部为________.

10. 难度：中等

如图，由曲线轴围成的阴影部分的面积是       .

11. 难度：中等

若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为______.

12. 难度：中等

过坐标原点作曲线的切线,则切线方程为________.

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下两个结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；②设P为直线上任意一点，则[OP]的最小值为1.

其中正确的结论有      （填正确的所有结论的序号）

14. 难度：中等

已知函数,若,且 对任意恒成立,则的最大值为_________.

三、解答题

15. 难度：中等

（本小题12分） 设复数 (是虚数单位), 试确定实数，使得:

(1) 是纯虚数; (2) 是实数; (3 ) 对应的点位于复平面的第二象限.

16. 难度：中等

（本小题12分）试用含的表达式表示的值，并用数学归纳法证明你的结论.

17. 难度：中等

（本小题14分）已知函数,曲线在处的切线方程为,若时, 有极值.

(1)求的值; (2)求在区间上的最大值和最小值.

18. 难度：中等

（本小题14分）如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,为的中点.

(1)求直线与所成角的余弦值;

(2)在侧面内找一点,使平面，并分别求出点到和的距离.

19. 难度：中等

（本小题14分）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．

（1）求椭圆的方程；    

（2）求证:直线与直线斜率的乘积为定值；

（3）求线段的长度的最小值．

20. 难度：中等

（本小题14分）已知函数为常数.

(1)求函数的定义域;

(2)若时, 对于比较与的大小;

(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的值.