2013届广东省汕头市高二第一学期期末考试理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知，且则一定成立的是（  ）

A、     B、    C、     D、

2. 难度：中等

设则“且”是“”的（   ）

     A．充分而不必要条件　  B．必要而不充分条件

     C．充分必要条件        D．不充分也不必要条件    

3. 难度：中等

与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是 (     )

A．       B．      C．      D．

4. 难度：中等

已知两座灯塔A、B与一岛C的距离都是，灯塔A在岛C的北偏东，灯塔B在岛C的南偏东，则灯塔A与灯塔B的距离为（  ）

A、      B、     C、      D、 

5. 难度：中等

与圆及圆都外切的动圆的圆心在（   ）

A、一个圆上    B、一个椭圆上     C、 双曲线的一支上       D、 一条抛物线上

6. 难度：中等

设变量满足，则的最大值和最小值分别为（  ）

A、2，－2         B、2，－4          C、 4，－2        D、 4，－4

7. 难度：中等

设是和的等比中项，则的最大值为（    ）

  A、1            B、2             C、3            D、4

8. 难度：中等

已知、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A、     B、      C、      D、

二、填空题

9. 难度：中等

双曲线的离心率是         

10. 难度：中等

已知向量满足且,则＝   

11. 难度：中等

设等差数列的前项和为，若则           

12. 难度：中等

函数的定义域为:             

13. 难度：中等

已知点P及椭圆，Q是椭圆上的动点，则的最大值为              

14. 难度：中等

下列4个命题

      

   

其中的真命题是             

三、解答题

15. 难度：中等

已知平面直角坐标系中点F（1，0）和直线,动圆M过点F且与直线相切。

（1）求M的轨迹L的方程；

（2）过点F作斜率为1的直线交曲线L于A、B两点，求｜AB｜的值。

16. 难度：中等

在中，分别是角的对边，且

（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）若，求角。

17. 难度：中等

如右下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2。 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.

(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;

(2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

18. 难度：中等

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．

(1)．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

19. 难度：中等

已知椭圆C：的两个焦点为、，且经过点，一组斜率为的直线与椭圆C都相交于不同两点、。

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：线段的中点都有在同一直线上；

（3）对于（2）中的直线，设与椭圆C交于两点M、N，试探究椭圆上使MNQ面积为的点Q有几个？证明你的结论。（不必具体求出Q点的坐标）

20. 难度：中等

设数列的前项的和为，且，

（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求通项；

（Ⅱ）设，，证明：