2013届广东省高二下学期第一次月考理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

复数的平方是一个实数的充要条件是（    ）

（A） a=0且b≠0   （B） a≠0且b=0   

（C） a=0且b=0    （D） a=0或b=0

2. 难度：中等

△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则b边所对的角为（    ）

(A) 锐角         (B) 钝角          (C) 直角     (D) 不能确定

3. 难度：中等

函数，则（    ）

(A)在上递增； （B）在上递减；

(C)在上递增； （D）在上递减

4. 难度：中等

用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）

(A) 1       (B)         (C)      (D)

5. 难度：中等

已知函数有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(   )

（A）-1<a<2 (B) -3<a<6      （C）a<-3或a>6         (D) a<-1或a>2

6. 难度：中等

的值等于（     ）

（A）   (B)    (C)    (D)

7. 难度：中等

已知f（x）是定义域R上的增函数，且f（x）<0,则函数g(x)=x²f(x)的单调情况一定是(   ) 

（A）在(-∞，0)上递增   （B）在(-∞，0)上递减  

（C）在R上递增         （D）在R上递减

8. 难度：中等

曲线上的点到直线的最短距离是（     ）

（A）          （B）            （C）         （D）0

9. 难度：中等

设a、b为正数，且a+ b≤4，则下列各式中正确的一个是（     ）

(A)      (B)     (C)      (D)

10. 难度：中等

已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是                                (    )

二、填空题

11. 难度：中等

一物体以v(t)=t² -3t+8(m/s)的速度运动,则其在前30秒内的平均速度为______________(m/s).

12. 难度：中等

设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=______；当时，_____________________．（用表示）

13. 难度：中等

若三角形内切圆的半径为，三边长为，则三角形的面积等于，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为，四个面的面积分别是，则四面体的体积____________________________.

14. 难度：中等

已知，函数定义域中任意的，有如下结论：

①；       ②；

③  ④

上述结论中正确结论的序号是               .

三、解答题

15. 难度：中等

（本小题满分12分）求抛物线与直线围成的平面图形的面积.

16. 难度：中等

（本小题满分12分）已知函数  

（1）求函数在上的最大值和最小值.

（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.

17. 难度：中等

（本小题满分14分） 

18. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知是函数的一个极值点，其中，

（1）求与的关系式；

（2）求的单调区间；

（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

19. 难度：中等

（本小题满分14分）如图，在直线之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸（x轴）是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往. 家住A（0，a）的某学生在位于公路上B（d,0）（d>0）处的学校就读. 每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B（d, 0）处的学校. 已知船速为，车速为（水流速度忽略不计）.

（1）若d=2a，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间；

（2）若，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间.

20. 难度：中等

（本小题满分14分）

已知A（-1，2）为抛物线C: y=2x²上的点，直线过点A，且与抛物线C 相切，直线:x=a(a≠-1)交抛物线C于B，交直线于点D.

（1）求直线的方程.

（2）设的面积为S₁，求及S₁的值.

（3）设由抛物线C，直线所围成的图形的面积为S₂，求证S₁:S₂的值为与a无关的常数.