2013届广东省高二上学期期末考试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

设全集，集合则集合       （    ）

      A．                                   B．

      C．                                    D．

2. 难度：中等

要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（  *  ）

       A．①随机抽样法，②系统抽样法            B．①分层抽样法，②随机抽样法

       C．①系统抽样法，②分层抽样法            D．①②都用分层抽样法

3. 难度：中等

已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（  *  ）

      A．充分而不必要条件                             B．必要而不充分条件

      C．充分必要条件                                    D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

若，则下列不等式：①；②；③；④ 中，正确的不等式有（  *  ）

A．1个           B．2个           C．3个              D．4个

5. 难度：中等

直线l过点（4，0）且与圆交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为 （  *  ）

      A．                             B．或

      C．                             D．

6. 难度：中等

函数的图象为C，下列结论中正确的是（  *  ）

     A．图象C关于直线对称           B．图象C关于点（）对称

     C．函数内是增函数

D．由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

7. 难度：中等

如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数f (x) = sinx, g ( x ) = , 则Q(x)是(   *   )

A．              B．f (x)g (x)    

C．f ( x ) – g ( x )        D．f ( x ) +g ( x )

8. 难度：中等

把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为                         （  *  ）

       A．1192                   B．1176                   C． 1168                 D．1112

二、填空题

9. 难度：中等

命题。则命题的否定是________***________

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为     _***_     

11. 难度：中等

已知函数那么不等式的解集为 　　    _***_    　    

12. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 　　  _***_      　    

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 　　   _   ***  　．

14. 难度：中等

已知△ABD是等边三角形，且，那么四边形ABCD的面积为　　  _***_      　 

三、解答题

15. 难度：中等

已知以角为钝角的的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，且

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

16. 难度：中等

高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。

（2）设表示该班两个学生的百米测试成绩，已知求事件“”的概率。

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

18. 难度：中等

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线年产量最大为210吨。      

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

19. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆.

（1）求椭圆的方程；

（2）若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；

（3）是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.

20. 难度：中等

已知数列中，，设．

（Ⅰ）试写出数列的前三项；

（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）设的前项和为，

求证：．