山东省青岛市2018-2019学年度第一学期北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形培优精选例题

一、解答题

1. 难度：困难

已知中，，，．点由出发沿向点匀速运动，同时点由出发沿向点匀速运动，它们的速度相同，点在上，，且点 在点的下方，当点到达点时，点，也停止运动，连接，设．解答下列问题：

如图，当为何值时，为直角三角形；

如图，把沿翻折，使点落在点．

①当为何值时，四边形为菱形？并求出菱形的面积；

②如图，分别取，的中点，，在整个运动过程中，则线段扫过的区域的形状为________，其面积为________．

                    

2. 难度：中等

中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点，

①求证：．

②当，求的度数．

③当四边形是菱形时，求的长．

3. 难度：中等

已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，．

若，求的长；

求证：．

4. 难度：中等

（11·湖州）（本小题10分）

如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF。

⑴求证：四边形AECF是平行四边形；

⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长。

5. 难度：中等

如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．

求证：；

若，求的大小．

6. 难度：中等

在矩形中，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．

求证：四边形为平行四边形；

若四边形为菱形，且，求的长．

7. 难度：困难

如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、．

求证：四边形是平行四边形；

若，垂足为，，求的值．

8. 难度：中等

已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

9. 难度：中等

如图，点是菱形的对角线上一点，连接并延长，交于，交的延长线点．问：

图中与哪个三角形全等？并说明理由；

求证：；

猜想：线段，，之间存在什么关系？并说明理由．

10. 难度：困难

已知，为等边三角形，点为直线上一动点（点不与、重合）．以为边作菱形，使，连接．

如图，当点在边上时，

①求证：；②请直接判断结论是否成立；

如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，结论是否成立？请写出、、之间存在的数量关系，并写出证明过程；

如图，当点在边的延长线上时，且点、分别在直线的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出、、之间存在的等量关系．

11. 难度：中等

菱形中，，点在边上，点在边上．

（1）如图，若是的中点，，求证：；

（2）如图，若，求证：是等边三角形．

12. 难度：困难

如图，菱形中，，，点在上，，过点作，交于，点从点出发以个单位的速度沿着线段向终点运动，同时点从点出发也以个单位的速度沿着线段向终点运动，设运动时间为．

填空：当时，________；

当平分时，直线将菱形的周长分成两部分，求这两部分的比；

以为圆心，长为半径的是否能与直线相切？如果能，求此时的值；如果不能，说明理由．

13. 难度：中等

用两个全等的等边和拼成如图的菱形．现把一个含角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的角的顶点与点重合，两边分别与、重合．将三角板绕点逆时针方向旋转．

如图，当三角板的两边分别与菱形的两边、相交于点、时，探求、、的数量关系，并说明理由；

继续旋转三角板，当两边、分别交、的延长线于点、时，画出旋转后相应的图形，并直接写出、、满足的数量关系式．

14. 难度：中等

如图，在菱形中，是上的一个动点（不与、重合）．连接交对角线于，连接．

证明：；

试问点运动到什么位置时，的面积等于菱形面积的？请说明理由．

15. 难度：困难

菱形中，点为上一点，连接．

如图，若，菱形边长为，，连接，求的长．

如图，连接对角线、相交于点，点为的中点，过作于，连接、．试判断的形状，并说明理由．

16. 难度：中等

如图，菱形中，为中点，与对角线交于点，．

求证：；

若，求菱形的面积．

17. 难度：中等

如图，四边形为菱形，点为对角线上的一个动点，连接并延长交射线于点，连接．

求证：；

是否存在这样一个菱形，当时，刚好？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由；

若，且当为等腰三角形时，求的度数．

18. 难度：中等

如图一，菱形的边长为，点是的中点，且．

求证：是等边三角形；

将图一中绕点逆时针旋转，使得点和点重合，得到，连接，如图二，求线段的长．

19. 难度：中等

如图，在边长为的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于．

如图，在边长为的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于．

对角线的长是________，菱形的面积是________；

如图，当点在对角线上运动时，的值是否发生变化？请说明理由；

如图，当点在对角线的延长线上时，的值是否发生变化？若不变请说明理由，若变化，请直接写出、之间的数量关系，不用明理由．

20. 难度：中等

如图，点是菱形的对角线上一点，连结并延长，交于，交的延长线点．

与相似吗？请说明理由．

若，，试求的长度．