| 1. 难度：中等 | |
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我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究． 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）． 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究： （1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线m（m和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可） （2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线m和n（m与圆O分别交于点A、B，n与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之； （3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是  的中点，弦DE⊥AB于点F．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．
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| 2. 难度：中等 | |
 如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为 的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．（1）求证：AE=BE； （2）求DE的长； （3）求BD的长． |
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| 3. 难度：中等 | |
如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．  （1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a1； （2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a2； （3）如题图，求正三角形的边长an（用含n的代数式表示） |
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| 4. 难度：中等 | |
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中 上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD； （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=  CD．
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| 5. 难度：中等 | |
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如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E． （1）求证：∠OAD=∠E； （2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径； （3）当  是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）
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| 6. 难度：中等 | |
有一个未知圆心的圆形工件．现只允许用一块直角三角板（注：不允许用三角板上的刻度）画出该工件表面上的一根直径并定出圆心．要求在图上保留画图痕迹，写出画法．
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| 7. 难度：中等 | |
如图（1），在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图（2）中的A，B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？（通过尺规作图说明原因）
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| 8. 难度：中等 | |
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如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证： （1）OC⊥DE； （2）△ACD∽△CBD． 
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下： （1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明； （2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形． 
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一个动点，AD、BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD分别与BC、半圆O交于点F、E，连接BE、CE． （1）证明：△ABE∽△BFE； （2）证明：△BDE是等腰直角三角形； （3）如果四边形ABEC是梯形，试求∠ABC的大小． 
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| 11. 难度：中等 | |
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已知：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P（P与O不重合），连接AC，BD，过A作AE⊥CP于E，过D作DF⊥PB于F． （1）请找出图中二对相似三角形：______∽______，______∽______； （2）请你从（1）中选择一对相似三角形加以证明． 
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| 12. 难度：中等 | |
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如图⊙O的内接△ABC中，外角∠ACF的角平分线与⊙O相交于D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为H．问： （1）∠PDC与∠HDC是否相等，为什么？ （2）图中有哪几组相等的线段？ （3）当△ABC满足什么条件时，△CPD∽△CBA，为什么？ 
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| 13. 难度：中等 | |
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如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交边BC于点E，连接BD． （1）根据题设条件，请你找出图中各对相似三角形； （2）请选择其中的一对相似三角形加以证明． 
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| 14. 难度：中等 | |
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已知：在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连接AD、BD． （1）写出图中3对相似的三角形（不必证明）； （2）找出图中相等的线段，并说出理由． 
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| 15. 难度：中等 | |
如下图，在⊙O中，点P在直径AB上运动，但与A、B两点不重合，过点P作弦CE⊥AB，在 上任取一点D，直线CD与直线AB交于点F，弦DE交直线AB于点M，连接CM．（1）如图1，当点P运动到与O点重合时，求∠FDM的度数． （2）如图2、图3，当点P运动到与O点不重合时，求证：FM•OB=DF•MC．  |
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点． （1）求证：AC•CD=PC•BC； （2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； （3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 
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| 17. 难度：中等 | |
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如图1，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为B，AC交⊙O于点D． （1）用尺规作图：过点D作DE⊥BC，垂足为E（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，求证：△BED∽△DEC； （3）若点D是AC的中点（如图2），求sin∠OCB的值．   |
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| 18. 难度：中等 | |
如图，已知：在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是 上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：△ACH∽△AFC； （2）猜想：AH•AF与AE•AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时，S△AEC：S△BOD=1：4，并加以说明． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． （1）∠E=______度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE的长． 
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| 20. 难度：中等 | |
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如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC=EB． （1）求证：△CEB∽△CBD； （2）若CE=3，CB=5，求DE的长． 
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| 21. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB=CD． （1）求证：AC=BD； （2）若F是⊙O上一点，且  ，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED2=EB•EP．
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| 22. 难度：中等 | |
如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM ．求证：（1）△ACM≌△BCM； （2）AD•BE=DE•BC； （3）BM2=MN•MF． |
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，AB是半圆O的直径，F是半圆上一点，D是OA上一点，过点D作ED⊥AB，交半圆于点C，交BF的延长线于点E，连接AC，AF，BC． （1）求证：∠E=∠BCF； （2）求证：BC2=BF•BE； （3）若BC=12，CF=6，BF=9，求sin∠AFC． 
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线AQ交BC于点P，交⊙O于点Q．已知AC=6，∠AQC=30度． （1）求AB的长； （2）求点P到AB的距离； （3）求PQ的长． 
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| 25. 难度：中等 | |
已知：如图，AD是△ABC的外接圆直径，∠C=62°，BD=4，求AD的长（精确到0.01）．
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