| 1. 难度：中等 | |
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如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，F是CE上的一点，且FC=FA，延长AF交⊙O于G，连接CG． （1）试判断△ACG的形状（按边分类），并证明你的结论； （2）若⊙O的半径为5，OE=2，求CF•CD之值． 
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| 2. 难度：中等 | |
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如图，AB为⊙O直径，过弦AC的点C作CF⊥AB于点D，交AE所在直线于点F． 求证：AC2=AE•AF． 
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| 3. 难度：中等 | |
如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E，连接CE．若CF=10， ，求CE的长．
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| 4. 难度：中等 | |
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如图，在平面直角坐标系内，⊙C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限． （1）求点C的坐标； （2）连接BC并延长交⊙C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2=BP•BE，能否推出AP⊥BE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2=BQ•EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由． 
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| 5. 难度：中等 | |
如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，点A是 的中点，AD交BC于点E，AE=4，AB=6，求DE的长．
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| 6. 难度：中等 | |
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如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）若BE=3，ED=6，求AB的长． 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC． （1）求证：△MAC是等腰三角形； （2）若AC为⊙O直径，求证：AC2=2AM•AB． 
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| 8. 难度：中等 | |
空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG是等边三角形，C、D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断 点E、F分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）． |
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证： （1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB•CE． 
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| 10. 难度：中等 | |
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如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF=BF； （2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长． 
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF． （1）求证：△CBE∽△AFB； （2）当  时，求 的值．
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| 12. 难度：中等 | |
如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．
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| 13. 难度：中等 | |
 如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE=BF； （3）若OG⋅DE=3（2-  ），求⊙O的面积． |
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| 14. 难度：中等 | |
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长．
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| 15. 难度：中等 | |
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧 的中点，BD交AC于点E．（1）求证：AD2=DE•DB； （2）若BC=  ，CD= ，求DE的长．
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| 16. 难度：中等 | |
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如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，AB2=AP•AD． （1）求证：AB=AC； （2）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为  的中点，求AD的长．
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| 17. 难度：中等 | |
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如图所示，四边形ABCD是以O为圆心，AB为直径的半圆的内接四边形，对角线AC、BD相交于点E． （1）求证：△DEC∽△AEB； （2）当∠AED=60°时，求△DEC与△AEB的面积比． 
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| 18. 难度：中等 | |
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是 的中点，BD交AC于点E．（1）△CDE与△BDC相似吗？为什么？ （2）若DE•DB=16，求DC的长． 
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| 19. 难度：中等 | |
已知，如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB于D，AC=2 cm．AD：DB=4：1，求AD的长．
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| 20. 难度：中等 | |
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如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H． （1）求证：AH•AB=AC2； （2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE•AF=AC2； （3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP•AQ=AC2是否成立．（不必证明） 
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| 21. 难度：中等 | |
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如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD． （1）求证：∠ADB=∠E； （2）求证：AD2=AC•AE； （3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明． 
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| 22. 难度：中等 | |
如图AB是⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，在 上取一点F，连接CF交AB于点M，连接DF并延长交BA的延长线于点N．求证： （1）∠DFC=∠DOB； （2）MN•OM=MC•FM． 
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| 23. 难度：中等 | |
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如图，BE是△ABC的外接⊙O的直径，CD是△ABC的高． （1）求证：  ；（2）已知：AB=11，AD=3，CD=6，求⊙O的直径BE的长． 
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| 24. 难度：中等 | |
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如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长． 
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| 25. 难度：中等 | |
如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB=6，AE=8，ED=4，求CD的长．
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| 26. 难度：中等 | |
 半径为2.5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4：3，点P在 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长； （2）当点P运动到  的中点时，求CQ的长；（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长． |
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| 27. 难度：中等 | |
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如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G． （1）求证：AE•BE=EF•EG； （2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长． 
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| 28. 难度：中等 | |
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如图，AD是△ABC的角平分线，延长AD交△ABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆O1交AC的延长线于点F，连接EF、DF． （1）求证：△AEF∽△FED； （2）若AD=6，DE=3，求EF的长； （3）若DF∥BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 
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| 29. 难度：中等 | |||||||||||||
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某“研究性学习小组”遇到了以下问题，请参与： 已知，△ABC是等边三角形且内接于⊙O，取  上异于A、B的点M．设直线CA与BM相交于点K，直线CB与AM相交于点N．    （1）如图1，图2，图3，M分别为  的中点、三分之一点、四分之一点，△ABC的边长均为2，分别测量出AK、BN的长，计算AK•BN的值（精确到0.01）并将结果填入下表中：
 上任意一点时，根据（1）的结果，猜想AK•BN与AB的数量关系式为______；（3）对（2）中提出的猜想，依图4给出证明． |
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