2008-2009学年北京市崇文区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面四张扑克牌中，图案属于中心对称图形的是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

将抛物线y=2x²如何平移可得到抛物线y=2（x-4）²-1（ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

3. 难度：中等

一个不透明的布袋里装有3个红球、2个白球，每个球除颜色外其它均相同，搅拌均匀后从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

方程x²-x=0的根是（ ）
A．x=1
B．x=0
C．x₁=0或x₂=1
D．x₁=-1或x₂=1

5. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定会中奖
B．买100张彩票恰有一张中奖表示彩票中奖的概率是1%
C．随机事件发生的可能性是50%
D．“明天下雨的概率为80%”指的是明天下雨的可能性是80%

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，且AE=3cm，EC=5cm，DE=6cm．则BC等于（ ）

A．10cm
B．16cm
C．12cm
D．

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（ ）
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴，y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴，y轴都相切

8. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．ac＜0
B．方程ax²+bx+c=0的根是x₁=-1，x₂=3
C．a+b+c＞0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大

二、填空题

9. 难度：中等

如图，△ABC和△ABD都是圆O的内接三角形，且AD是直径．则∠BAD+∠C等于    度．

10. 难度：中等

在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为    ，△ADE与△ABC的面积之比为    ．

11. 难度：中等

若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，△OAB是直角三角形，两条直角边的长分别是OB=3，AB=4．先将△OAB绕原点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，然后继续将△OA'B'绕原点O逆时针旋转90°得到△OA''B''，则点A'的坐标是    ，点A''的坐标是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知圆锥的底面直径为4cm，其母线长为3cm，求它的侧面积．

14. 难度：中等

用配方法解方程：2x²+1=3x．

15. 难度：中等

如图，已知∠ABC=∠ACD，若AD=3cm，AB=7cm，试求AC的长．

16. 难度：中等

如图，点C在半圆O的半径OB上，作PC⊥AB于C．点D是半圆上位于PC左侧的点，连接BD交线段PC于E，且PD=PE．
求证：PD是圆O的切线．

17. 难度：中等

如图，直角梯形OABC中，O为坐标原点，OA=OC，点C的坐标是（0，8），以点B为顶点的抛物线y=ax²+bx+c经过原点和x轴上的点A．求抛物线的解析式．

18. 难度：中等

如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．

19. 难度：中等

阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．

20. 难度：中等

桌面上放有4张卡片，正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外完全相同．把这些卡片反面朝上洗匀后放在桌面上，甲从中任意抽出一张，记下卡片上的数字后仍放反面朝上放回洗匀，乙从中任意抽出一张，记下卡片上的数字，然后将这两数相加．
（1）请用列表或画树状图的方法求两数和为5的概率；
（2）若甲与乙按上述方式作游戏，当两数之和为5时，甲胜；反之则乙胜；若甲胜一次得12分，那么乙胜一次得多少分，这个游戏对双方公平吗？

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-mx-2=0…①
（1）若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．

22. 难度：中等

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）∠APB的度数．

23. 难度：中等

如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，，．
于是有，
综上得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有，
这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的两根，求x₁²+x₂²的值．解法可以这样：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，则=（-6）²-2×（-3）=42．
请你根据以上材料解答下列题：
（1）若x²+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两根，求（x₁-x₂）²的值．

24. 难度：中等

如图，已知抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；
（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=CD=．点M从点B开始，以每秒2个单位长的速度向点C运动；点N从点D开始，以每秒1个单位长的速度向点A运动，若点M，N同时开始运动，点M与点C不重合，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP垂直于BC，交BC于点P，交AC于点Q，连接MQ．
（1）用含t的代数式表示QP的长；
（2）设△CMQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（3）求出t为何值时，△CMQ为等腰三角形？