2008-2009学年安徽省亳州市蒙城六中九年级（上）第二次全能竞赛数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列函数（1）y=x；（2）；（3）；（4）y=x²-2中，当x＞0时，y随x的增大而增大的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

已知锐角α满足3tan（α+20°）=，则锐角α的度数为（ ）
A．10°
B．25°
C．40°
D．45°

3. 难度：中等

已知cosA＞，则锐角∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜90°
C．0°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°

4. 难度：中等

用反证法证明：“三角形三内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应是（ ）
A．假设三角形三内角中至多有一个角不大于60°
B．假设三角形三内角中至少有一个角不小于60°
C．假设三角形三内角中至少有一个角大于60°
D．假设三角形三内角中没有一个角不大于60°（即假设三角形三内角都大于60°）

5. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴相切于B，与y轴交于C（0，1），D（0，4）两点，则点A的坐标是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax²+bx+c+2=0的根的情况是（ ）

A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根

7. 难度：中等

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径，AC=2，则cosB的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC，BD相交于E，则等于（ ）

A．tan∠AED
B．cot∠AED
C．sin∠AED
D．cos∠AED

9. 难度：中等

如图，已知⊙O的半径是R．C，D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值为（ ）

A．2R
B．R
C．R
D．R

10. 难度：中等

如图，圆柱形开口杯底部固定在长方体水池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h，注水时间为t，则h与t之间的关系大致为下图中的（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如图，点P是等边△ABC内一点，且AP=6，BP=8，CP=10；若将△APC绕点A逆时针旋转后得△AP'B；则AP'=    ，∠APB=    度．

12. 难度：中等

如图所示，有一块四边形菜地ABCD，其中∠ABC=60°，AB=40m，BC=50m，CD=20m，AD=50m，则这块菜地的面积是    m²（结果保留根号）．

13. 难度：中等

先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如左图），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图），若AB=8，BC=6，则右图中点C的坐标为    ．

14. 难度：中等

函数y=x²-4x+5（0≤x≤5）的最小值和最大值分别是    ，    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在足球比赛射门时，球对球门AB张开的角越大球越容易射进，如图队员甲已经把球带到对方球门前D处，不考虑其他因素，该队员是自己直接射门好还是把球传给位于C点的队员乙好？为什么？

16. 难度：中等

要在宽为28m的海堤公路的路边安装路灯，路灯的灯臂长为3m，且与灯柱成120°（如图所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果（精确到0.01m，≈1.732）．

17. 难度：中等

如图，经过点M（-1，2），N（1，-2）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求b的值．
（2）若OC²=OA•OB，试求抛物线的解析式．
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．

19. 难度：中等

我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

20. 难度：中等

如图，隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12m，宽AB为3m，隧道的顶端E（圆弧AED的中点）高出道路（BC）7m．
（1）求圆弧AED所在圆的半径；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车高6.5m，宽2.3m，问这辆货运卡车能否通过该隧道．

21. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=，D是线段BC的中点．
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

22. 难度：中等

（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当时，有；
②当时，有；
③当时，有．
当时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

23. 难度：中等

如图①，OP是∠AOB的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．