2004年浙江省宁波市余姚中学自主招生考试数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知a，b是方程x²+6x+4=0的两个根，则的值    ．

2. 难度：中等

已知asinθ+cosθ=1，且bsinθ-cosθ=1，（其中θ是锐角），则ab=    ．

3. 难度：中等

在一条直线的同侧画三个圆，其中一个圆的半径是4．另两个圆是等圆，并且每个圆都和其它两个圆外切，和直线也相切．则等圆的半径长为    ．

4. 难度：中等

甲、乙两家售货亭以同样价格出售某种商品，一星期后甲家售货亭把售价降低了l0%，再过了一个星期又降低了10%；乙家售货亭只是在两星期后才降低20%．那么    家售货亭比另一家售贷亭价格低，低百分之    ．

5. 难度：中等

老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；
乙：函数的图象经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；
丁：当x＜2时，y＞0．
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数    ．

6. 难度：中等

学校想用一盏高压钠灯．照亮整个全长为16米，宽为12米的乒乓球比赛场地，现知钠灯照射的光线组成轴截面的顶角为60°的圆锥体，则这盏钠灯应挂高度为    米．

7. 难度：中等

已知正方形边长为a．依次连接正方形各边中点围出新的正方形．按此方法依次下去．第n次围出的正方形边长为    ．

8. 难度：中等

在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S₁，△COD的面积为S₂，则=    ．

二、选择题

9. 难度：中等

方程的整数解有（ ）
A．不存在
B．仅有1组
C．仅有2组
D．至少有4组

10. 难度：中等

如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）

A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

11. 难度：中等

图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）

A．11
B．10
C．8
D．7

12. 难度：中等

如图，一个等边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原出发位置时，则该圆转了（ ）

A．3圈
B．5圈
C．4圈
D．2圈

13. 难度：中等

从含有两个正品a₁，a₂和一件次品b_l的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取2次，则取出的2件中恰好有1件次品的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

若二次函数y=ax²+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x=m+n时，二次函数y的值是（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．O

三、解答题

15. 难度：中等

如图，AB、CD是⊙0的两条平行弦，BE∥AC交CD于E．过A点的切线交DC延长线于P，若AC=3，求PC•CE的值．

16. 难度：中等

已知关于x的二次方程a²x²+2ax+1=-3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x²+2（a+n）x-a²=4-6a-2n有小于2的正实根，求n的整数值．

17. 难度：中等

备受人们关注的好莱坞大型影片《指环王3》将在宁波电影院放映．该影院共有l000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验：当每张票价不超过l0元时，票可全部售出；当每张票高于l0元时，每提高l元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，电影院定一个合适的票价，符合的基本的条件是：①为了方便找零和算帐，票价定为1元的整数倍；②票价：不得高于25元；③影院放映一场的成本费用支出为5750元，票房收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用Y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本后的收入）
（1）试问该影院每张最低票价应定为多少？
（2）求出y和x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）试问在符合基本条件的前提下，每张票价定为多少元时，放映一场的净收入最多？

18. 难度：中等

已知直线y=2x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，又P、Q两点的坐标分别为P（-2，0）、Q（0，k），其中k＜6．再以Q点为圆心，PQ长为半径作圆，则：
（1）当k取何值时，⊙Q与直线相切？
（2）说出k在什么范围内取值时，⊙Q与直线AB相离？相交？（只须写出结果，不必写解答过程）