2012-2013学年浙江省九年级数学竞赛模拟试卷一（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个多边形所有对角线的条数共有（  ）

A．42条            B．54条             C．66条             D．78条

2. 难度：中等

如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E， 若∠CAE=15°则∠BOE=（  ）

A．30°             B．45°             C．60°             D．75°

3. 难度：中等

设方程的两根是、，则方程的根是（  ）

A．，           B．，        C．，           D．，

4. 难度：中等

若不等式有解，则实数最小值是（  ）

A．1                B．2                C．4                D．6

5. 难度：简单

若一个三角形的任意两边都不相等，则称之为不规则三角形,用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，不规则三角形的个数是（  ）

A．18               B．24               C．30               D．36

6. 难度：中等

不定方程的正整数解的组数是（  ）

A．0组             B．2组              C．4组              D．无穷多组

二、填空题

7. 难度：中等

二次函数的图像关于对称，则的最小值是         .

8. 难度：中等

已知△ABC中，AB=；BC=6；CA=.点M是BC中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是         .

9. 难度：中等

一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手，每位参赛者与其个选手各对局一次，计分方式为：胜者的2分，负者得0分，平局各自得1分。比赛结束后统计发现所有参赛男选手的分数和是所有女选手的分数和的4倍，则n的所有可能值是         .

三、解答题

10. 难度：中等

已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立，求其实数的可能值。（20分）

11. 难度：中等

抛物线的图像于x轴交于点M，N，且经过点A（0，1），其中，过点A的直线交x轴于C点，与抛物线交于点B（异于A点），满足△CAN是等腰直角三角形，且，求解析式.（25分）

12. 难度：中等

如图.AD、AH分别是△ABC（其中AB＞AC）的角平分线、高线，M点是AD的中点，△MDH的外接圆交CM于E，求证∠AEB=90°。（25分）

13. 难度：中等

一列火车自A城驶往B城,沿途有n个车站(包括起点站A和终点站B),该列火车挂有一节邮政车厢,运行时需要在每个车站停靠,每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个,还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个。例如,当列车停靠在第x 个车站时,邮政车厢上需要卸下已经通过的(x-1)个车站发给该站的邮包共(x-1)个,还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个车站的邮包共(n-x)个。

(1)根据题意,完成下表:

车站序号	在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1	n-1
2	(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)
3	2(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)
4
5
…	……
n

(2)根据上表,写出列车在第x车站启程时,邮政车厢上共有邮包的个数y(用x、

n表示)。

(3)当n=18时,列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？

14. 难度：中等

阅读并解答下列问题：我们熟悉两个乘法公式：①（+b）²=²+2b+b²;②(-b)²=²-2b+b².现将这两个公式变形，可得到一个新的公式③：b=()²-()², 这个公式形似平方差公式，我们不妨称之为广义的平立差公式。灵活、恰当地运用公式③将会使一些数学问题迎刃而解。

例如：因式分【解析】
（b-1）²+(+b-2)( +b-2b)

【解析】
原式=+-

=(b-1)²+(+b-b-1)²-(b-1)²=(-1)(b-1)²=（-1）²(b-1)²你能利用公式（或其他方法）解决下列问题吗？

已知各实数，b，c满足b=c²+9且=6-b，求证：="b"