2020届湖南省岳阳市高三上学期第一次质量检测数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，集合，，则等于( )

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数，，则在复平面内对应的点在

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

已知向量，，若∥，则等于( )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

“”是“函数在定义域内是增函数”的（    ）

A.必要条件

B.充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

设随机变量，且，则实数a的值为　　

A.10 B.8 C.6 D.4

6. 难度：中等

在正四棱锥中，底面正方形的边长为1，侧棱长为2，则异面直线与所成角的大小为（ ）

A. B. C. D.

7. 难度：困难

如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )

A. B.

C. D.

8. 难度：困难

己知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）

A.7 B.8 C.9 D.10

二、填空题

9. 难度：简单

在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________．

10. 难度：简单

假设存在实数满足，那么实数的取值范围为___________.

11. 难度：简单

如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，于点，若圆的面积为，，则的长为     ．

12. 难度：简单

的二项展开式中，常数项的值是      .

13. 难度：简单

程序框图如图，那么输出的=_____

14. 难度：简单

若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+5y的最大值为_____．

15. 难度：简单

抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且⊥轴，那么双曲线的离心率为______

16. 难度：简单

数列令表示集合中元素个数.

（1）假设1，3，5，7，9，那么=____________________；

（2）假设（为常数），那么=____________________；

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，，，．

（1）求的值；

（2）求的长．

18. 难度：简单

数列的前项和为，且.

（1）试求的通项公式；

（2）假设数列满足：，试求的前项和.

19. 难度：中等

如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，BP的中点，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求证：EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求证BE⊥DP;

（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求该多面体的体积.

20. 难度：中等

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示．

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望.

21. 难度：中等

设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，假设（其中为坐标原点）

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值

22. 难度：中等

已知函数（）．

（1）若为的极值点，求实数的值；

（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．