2020届天一大联考海南省毕业生班阶段性测试（三）理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数在复平面内所对应的点位于（   ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

函数是（    ）        

A．周期为的奇函数       B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数      D．周期为的偶函数

4. 难度：中等

函数的图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

对任意，若，则实数（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

的展开式中的常数项等于（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：困难

在中，，为线段上的点，且.若，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

若函数恰有两个零点，则实数的值为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

甲、乙两支足球队进行一场比赛，三位球迷赛前在一起聊天.说：“甲队一定获胜.”说：“甲队不可能输.”说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）

14. 难度：中等

公元前世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.

15. 难度：中等

往一球型容器注入cm³的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm³/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.

16. 难度：中等

已知斜率存在的直线交抛物线于两点，点，若，则直线恒过的定点是______.

三、解答题

17. 难度：中等

记数列的前项和为，已知，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求的通项公式，并求的最小值.

18. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且.点是线段上一点，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

19. 难度：中等

甲市有万名高三学生参加了天一大联考，根据学生数学成绩（满分：分）的大数据分析可知，本次数学成绩服从正态分布，即，且，.

（1）求的值.

（2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取名学生进行问卷调查，其中数学成绩高于分的人数为，求.

（3）与甲市相邻的乙市也有万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩服从正态分布.某高校规定此次联考数学成绩高于分的学生可参加自主招生考试，则甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？

附：若随机变量，则，，.

20. 难度：困难

椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）若在上存在极小值，求的取值范围；

（2）设（为的导函数），的最小值为，且，求的取值范围.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.

（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；

（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.

23. 难度：中等

已知存在，使得，.

（1）求的取值范围；

（2）证明：.