2019届天一大联考海南省毕业生班阶段性测试（三）文科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数在复平面内所对应的点位于（   ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 难度：简单

函数是（    ）        

A．周期为的奇函数       B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数      D．周期为的偶函数

4. 难度：中等

函数的图象大致是（    ）

A. B.

C. D.

5. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

对任意，若，则实数（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知函数若函数，则（    ）

A.或 B.或

C.或 D.或

10. 难度：困难

在中，，为线段上的点，且.若，则（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

函数的零点个数为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

抛物线 的焦点到准线的距离为________.

14. 难度：简单

甲、乙两支足球队进行一场比赛，三位球迷赛前在一起聊天.说：“甲队一定获胜.”说：“甲队不可能输.”说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人的判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）

15. 难度：中等

公元前世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.

16. 难度：中等

往一球型容器注入cm³的水，测得水面圆的直径为cm，水深为cm，若以cm³/s的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为cm时，则需经过______s.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，，.

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求的最小值.

18. 难度：中等

某校的名高三学生参加了天一大联考，为了分析此次联考数学学科的情况，现随机从中抽取名学生的数学成绩（满分：分），并绘制成如图所示的茎叶图.将成绩低于分的称为“不及格”，不低于分的称为“优秀”，其余的称为“良好”.根据样本的数字特征估计总体的情况.

（1）估算此次联考该校高三学生的数学学科的平均成绩.

（2）估算此次联考该校高三学生数学成绩“不及格”和“优秀”的人数各是多少.

（3）在国家扶贫政策的倡导下，该地教育部门提出了教育扶贫活动，要求对此次数学成绩“不及格”的学生分两期进行学业辅导：一期由优秀学生进行一对一帮扶辅导，二期由老师进行集中辅导.根据实践总结，优秀学生进行一对一辅导的转化率为；老师集中辅导的转化率为，试估算经过两期辅导后，该校高三学生中数学成绩仍然不及格的人数.

注：转化率

19. 难度：困难

如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且.点是线段上一点，且.

（1）求证：平面平面.

（2）若，在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

20. 难度：困难

椭圆将圆的圆周分为四等份，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且的中点为，线段的垂直平分线为，直线与轴交于点，求的取值范围.

21. 难度：困难

已知函数，是的导函数.

（1）若，求的最值；

（2）若，证明：对任意的，存在，使得.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线经过点，且与极轴所成的角为.

（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；

（2）设直线与曲线交于两点，若，求直线的普通方程.

23. 难度：中等

已知存在，使得，.

（1）求的取值范围；

（2）证明：.