2020届西大附中高三12月月考数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设集合， ，则（   ）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为(    )

A. B. C. D.

3. 难度：简单

某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（    ）

A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数

4. 难度：简单

函数的图象如图所示，则下列结论成立的是(     )

A. B. C. D.

5. 难度：简单

设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（    ）

A.9 B.27 C.81 D.

6. 难度：中等

已知变量，满足，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则（    ）

A.，且直线，异面 B.，且直线，相交

C.，且直线，异面 D.，且直线，相交

8. 难度：中等

函数(（是常数）,的部分图像如图所示，则f(0)=（    ）

A. B. C.0 D.

9. 难度：中等

鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（  ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

平面直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为（    ）

A. B. C. D.

11. 难度：困难

在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的最小值为（   ）

A. B.2 C.1 D.

12. 难度：中等

已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论：

①在上单调递增；

②

③在上没有零点；

④在上只有一个零点.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④

二、填空题

13. 难度：中等

在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.

14. 难度：中等

已知分别是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆的离心率为____________.

15. 难度：中等

已知函数，设，，请将、、按照由大到小的排列顺序写出________________.

16. 难度：中等

函数，，当时，函数仅在处取得最大值，则的取值范围是______.

三、解答题

17. 难度：中等

分别为的内角的对边.已知.

（1）若，求；

（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.

18. 难度：中等

已知正方形ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，使△ACD为等边三角形，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为.

（1）证明：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上；

（2）求角的正弦值.

19. 难度：简单

某汽车美容公司为吸引顾客,推出优惠活动:对首次消费的顾客,按/次收费,并注册成为会员,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下:

消费次第	第次	第次	第次	第次	次
收费比率

该公司注册的会员中没有消费超过次的,从注册的会员中,随机抽取了100位进行统计,得到统计数据如下:

消费次数	次	次	次	次	次
人数

假设汽车美容一次,公司成本为元,根据所给数据,解答下列问题:

（1）某会员仅消费两次,求这两次消费中,公司获得的平均利润;

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,设该公司为一位会员服务的平均利润为元,求的分布列和数学期望.

20. 难度：中等

已知等差数列满足，.设正项等比数列的前项和为，且，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求.

21. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围

22. 难度：中等

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）正数满足，证明：.