新疆实验中学2018-2019学年高二下学期开学检测数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，DB与A₁B夹角是（    ）

A.30° B.45°

C.60° D.75°

2. 难度：简单

设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)

A. B. C. D.

3. 难度：中等

过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于两点，则与椭圆的另一个焦点F₂构成的周长是( )

A.2 B.4 C. D.

4. 难度：简单

函数有（    ）

A.极大值，极小值 B.极大值，极小值

C.极大值，无极小值 D.极小值，无极大值

5. 难度：简单

函数 的单调递增区间是（  ）

A. B. C.(1,4) D.(0,3)

6. 难度：中等

设是椭圆的左，右焦点，过作轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率为（      ）

A. B. C. D.

7. 难度：中等

已知函数在上是单调函数，则实数a的取值范围是（  ）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

设椭圆和双曲线的公共焦点为是两曲线的一个公共点,则的值等于

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（　　）

A.2 个 B.1 个 C.3 个 D.4 个

11. 难度：中等

已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）

A.12π B.36π C.72π D.108π

12. 难度：中等

若函数，且0＜x₁＜x₂＜1，设，则a，b的大小关系是（　　）

A.a＞b B.a＜b

C.a＝b D.b的大小关系不能确定

二、填空题

13. 难度：简单

曲线f（x）＝x²+x﹣2e^x在点（0，f（0））处的切线的方程为_____．

14. 难度：简单

设，当x∈[﹣1，2]时，恒成立，则实数的取值范围为            .

15. 难度：困难

已知抛物线的方程为， 为坐标原点， ， 为抛物线上的点，若为等边三角形，且面积为，则的值为__________．

16. 难度：中等

若A，B分别是椭圆E：（m＞1）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与直线BP的斜率之积为，则椭圆E的离心率为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）＝x³+ax²+bx+c在x与x＝1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间．

18. 难度：简单

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

19. 难度：中等

已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（1）求双曲线C的方程．

（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．

20. 难度：中等

在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的正切值．

21. 难度：中等

在直角梯形PBCD中，∠D＝∠C，BC＝CD＝2，PD＝4，A为PD的中点，如图1，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，如图2．

（1）求证：SA⊥平面ABCD；

（2）若E为SD中点，求D点到面EAC的距离．

22. 难度：困难

已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，且过点．

（）求椭圆的标准方程．

（）、、、是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这条直线互相垂直，求证：为定值．

23. 难度：中等

已知函数

（1）求的单调区间；

（2）求曲线在点处的切线方程；

（3）求证：对任意的正数与，恒有．