湖南省湘西州2018-2019学年高二上学期期末数学(理)试卷

一、单选题

1. 难度：简单

命题“∀x≤0，x²+x+1＞0”的否定是（　　  ）

A.∀x＞0，x²+x+1≤0 B.∀x＞0，x²+x+1＞0

C.∃x₀≤0，x₀²+x₀+1≤0 D.∃x₀≤0，x₀²+x₀+1＞0

2. 难度：简单

已知i是虚数单位，则复数的模为（　　  ）

A. B.2 C.2 D.4

3. 难度：中等

若实数满足不等式组，则的最大值是(  )

A.﹣1

B.0

C.1

D.2

4. 难度：简单

已知各项为正数的等比数列{a_n}中，a₂＝1，a₃a₇＝64，则公比q＝（　  　）

A.2 B.3 C.4 D.5

5. 难度：简单

已知x>0，不等式…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为(　　)

A.n² B.2ⁿ C.2^2n－2 D.nⁿ

6. 难度：简单

“”是“椭圆的焦距为8”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

7. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　

A.  B.  C.  D.

8. 难度：简单

如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，xyz，则（　  　）

A.x＝1，y＝2，z＝3 B.x，y＝1，z＝1

C.x＝1，y＝2，z＝2 D.x，y＝1，z

9. 难度：简单

如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为　　

A.

B.

C.

D.

10. 难度：中等

在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）

A. B. C. D.

11. 难度：中等

在1和17之间插入n﹣2个数，使这n个数成等差数列，若这n﹣2个数中第一个为a，第n﹣2个为b，则的最小值为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

12. 难度：中等

设f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e²（e为自然对数的底数），则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　  ）

A.（e，+∞） B.（2，+∞） C.（﹣∞，2） D.（﹣∞，e）

二、填空题

13. 难度：简单

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝_____．

14. 难度：简单

已知命题p：x²﹣6x+8＜0，命题q：0＜x＜3．若“p∧q”为真命题则实数x的取值范围是_____．

15. 难度：中等

将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．

16. 难度：中等

已知a，b∈R⁺，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．

18. 难度：中等

已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．

求数列的通项公式；

求数列的前n项和．

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角B；

（2）若，，求，．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．

（1）求证：平面BED平面SAB；

（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．

21. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足k_PAk_PB．

（1）求动点P的轨迹Γ的方程；

（2）若M，N是轨迹Γ上两点，k_MN＝1，求△OMN面积的最大值．

22. 难度：困难

已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求证：（n≥2，n∈N^*）．