广东省2018-2019学年高二上学期期中理科数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

命题“对任意的，”的否定是

A.不存在， B.存在，

C.存在， D.对任意的，

2. 难度：中等

的一个必要不充分条件是（  ）

A.  B.

C.  D.

3. 难度：简单

若方程1表示椭圆，则实数k的取值范围是（    ）

A.k＜3 B.k＞4

C.3＜k＜4且k D.k＜3或k＞4

4. 难度：中等

已知（λ+1，0，6），（2λ+1，2μ﹣1，2）．若，则λ与μ的值分别为（    ）

A.﹣5，﹣2 B. C.5，2 D.

5. 难度：中等

设椭圆=的右焦点与抛物线的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为

A. B. C. D.

6. 难度：中等

已知A、B、C是不共线的三点，O是平面ABC外一点，则在下列条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件是（    ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

椭圆，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为，则该椭圆的离心率为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：中等

设A，B是双曲线y²＝1上两个不同的点，M（1，2）是线段AB的中点，则直线AB的斜率为（    ）

A. B. C.2 D.8

9. 难度：中等

已知点，F是抛物线的焦点，M是抛物线上的动点，当最小时，M点坐标是　　

A. B. C. D.

10. 难度：中等

以下命题

①是共线的充要条件；

②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；

③．

其中正确的命题有（    ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

11. 难度：中等

已知双曲线x²1的左右焦点分别为F₁，F₂，点P（0，y₀）（y₀＞0），以OP为直径的圆与直线y＝bx的交点为O，M，且点M在线段PF₂上，若7，则双曲线的方程为（    ）

A.x²1 B.x²1 C.x²﹣7y²＝1 D.x²﹣49y²＝1

12. 难度：困难

动直线y＝x+n与椭圆1有两个不同的交点A，B，在椭圆上找一点C使△ABC的面积S最大，则S的最大值是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.

二、填空题

13. 难度：简单

写出命题“若（x﹣1）（y+2）≠0，则x≠1且y≠2”的逆否命题_____．

14. 难度：中等

设（1，1，0），（﹣1，1，0），（1，0，1），（0，0，1），存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．

15. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________.

16. 难度：中等

对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；

②焦点在x轴上

③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5；

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）

能使抛物线方程为y²＝10x的条件是_____．

三、解答题

17. 难度：简单

求双曲线1（a＜0）的焦点坐标、离心率与渐近线方程．

18. 难度：中等

已知平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的所有棱长均为1，从顶点A出发的三条棱两两成60°的角．

（1）求体对角线AC₁的长；

（2）求证：A₁C＝BD₁．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别是BC，PC的中点，用向量方法解决以下问题：

（1）求异面直线AE与PD所成角的大小；

（2）若AB＝AP，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大小．

20. 难度：中等

定义：如果存在实数x，y使，那么就说向量可由向量线性表出．给出命题：p：空间三个非零向量中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q：空间三个非零向量共面．判断p是q的什么条件，并证明你的结论．

21. 难度：中等

直线l过曲线C：yx²的焦点F，并与曲线C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．

（1）求证：x₁x₂＝﹣16；

（2）曲线C分别在点A，B处的切线（与C只有一个公共点，且C在其一侧的直线）交于点M，求点M的轨迹．

22. 难度：困难

在平面直角坐标系中，直线l：yx﹣3经过椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．

（1）求椭圆E的方程；

（2）A、B、C是椭圆E上的三个动点，A与B关于原点对称，且|CA|＝|CB|，求△ABC面积的最小值，并求此时点C的坐标．