福建省2020届高三下学期开学质检数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知全集，集合, 集合，那么= （  ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

复数的共轭复数是

A. B. C. D.

3. 难度：中等

下列命题中假命题是(　　)

A.∃x₀∈R，ln x₀＜0

B.∀x∈(－∞，0)，e^x＞x＋1

C.∀x＞0,5^x＞3^x

D.∃x₀∈(0，＋∞)，x₀＜sin x₀

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的值为（   ）

A. B. C. D.6

5. 难度：简单

一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则的值为（  ）

A.2 B.-2 C.3 D.-3

6. 难度：中等

《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ）

A.288种 B.144种 C.720种 D.360种

7. 难度：困难

在平面直角坐标系中，不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为(  )

A. －1    B. －

C.     D. －

8. 难度：中等

已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（    ）

A. B. C. D.

9. 难度：中等

双曲线的左、右焦点为，，抛物线：的焦点为，点为双曲线与抛物线的一个交点，若线段的中点在轴上，则该双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

已知函数，若存在满足，且，则的最小值为（    ）

A.6 B.10 C.8 D.12

11. 难度：中等

如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）

A. B.

C. D.

12. 难度：困难

已知函数，其中，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：

表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为__________.

14. 难度：中等

若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．

15. 难度：困难

已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为__________．

16. 难度：中等

如图，在中，三内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，圆是的外接圆，是圆上一动点，当取得最大值时，的最大值为_______.

三、解答题

17. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.

（1）求证：平面；

（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.

19. 难度：中等

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中，

（1）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；

（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点的声音能量等于声音能量与之和.请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，

20. 难度：困难

已知在椭圆上，为右焦点，轴，为椭圆上的四个动点，且，交于原点.

（1）判断直线与椭圆的位置关系；

（2设，满足，判断的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则说明理由.

21. 难度：困难

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证: .

22. 难度：中等

已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且两坐标系中具有相同的长度单位，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线与直线有唯一公共点，求实数的值.

23. 难度：中等

已知，，记，.

（1）求的最大值；

（2）若，是否存在，使得？并说明理由.