2019届贵州省黔东南州高三下学期第一次模拟考试（理）数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

表示集合中整数元素的个数，设集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：简单

若z为纯虚数，且，则（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

椭圆＝1的离心率为(  )

A. B. C. D.

4. 难度：简单

某市体育局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成表格如下：

	甲	乙	丙	丁
平均数
方差

根据表中的数据，应选哪位选手参加全省的比赛（   ）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

5. 难度：简单

将函数f（x）=cos（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是（　　）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

函数的图像大致为（   ）

A. B.

C. D.

7. 难度：中等

若x，y满足约束条件 ，则z＝x+3y的最大值为（　　）

A. 2 B. 8 C. 16 D. 20

8. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：简单

双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过抛物线的顶点，则的方程为（   ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知，则（    ）

A. B.2 C. D.

11. 难度：中等

在空间直角坐标系中，0，，0，，1，，2，，若四面体OABC的外接球的表面积为，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，只有一个零点，且，则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

函数的值域为______.

14. 难度：简单

在中，，，则__________．

15. 难度：中等

若的展开式中x的偶数次幂项的系数之和为，则______.

16. 难度：中等

瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为的欧拉三角形.如图，是的欧拉三角形（H为的垂心）.已知，，，若在内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

三、解答题

17. 难度：简单

已知等比数列的公比为2，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.

（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；

（2）已知该厂现有2名维修工人.

（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；

（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？

20. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，曲线C：x²＝6y与直线l：y＝kx+3交于M，N两点．

（1）设M，N到y轴的距离分别为d₁，d₂，证明：d₁d₂为定值．

（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？若存在，求以线段OP为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知函数，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数存在两个极值点，，求的取值范围.

22. 难度：中等

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，，求.

23. 难度：中等

已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且，证明：.