2020届山东省高三下学期3月线上考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，集合，则（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设(为虚数单位），其中是实数，则等于(   )

A.5 B. C. D.2

3. 难度：中等

已设都是正数，则“”是“”的（  　　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法预测

5. 难度：中等

《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（   ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（  ）

A.210 B.180 C.160 D.175

7. 难度：中等

泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（    ）

A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m

8. 难度：中等

已知函数满足，，且与的图像交点为，，…，，则的值为(   )

A.20 B.24 C.36 D.40

二、多选题

9. 难度：中等

某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：中等

甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B.

C.事件与事件相互独立

D.，，是两两互斥的事件

11. 难度：困难

已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（    ）

A.点的横坐标为

B.的周长为

C.小于

D.的内切圆半径为

12. 难度：困难

已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（    ）

A.若，则满足条件的点有且只有一个

B.若，则点的轨迹是一段圆弧

C.若∥平面，则长的最小值为2

D.若∥平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为

三、填空题

13. 难度：简单

已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．

14. 难度：简单

已知是与的等比中项，则圆锥曲线的离心率是_____．

15. 难度：中等

对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，且）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是_____．

16. 难度：中等

已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________.

四、解答题

17. 难度：中等

数列满足：

（1）求的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和.

18. 难度：中等

在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知．

（1）求角B的大小；

（2）求的取值范围

19. 难度：中等

如图，三棱柱中，，，平面平面.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量满足正态分布在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图.

（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计的值；

（2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.

（参考数据：，，，，）

21. 难度：中等

已知椭圆，点F为抛物线的焦点，焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d₁，焦点F到抛物线C的准线的距离为d₂，且。

(1)抛物线C的标准方程;

(2)若在x轴上存在点M，过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点，且为定值，求点M的坐标.

22. 难度：困难

已知函数．

讨论函数的极值点的个数；

若函数有两个极值点，，证明：．