2020届湖南省常德市高三上学期期末数学文科试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

若复数满足，则 （    ）

A. B. C. D.

3. 难度：简单

双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

等差数列前项和为，，则公差 （    ）

A.-4 B.-2 C.2 D.4

5. 难度：简单

某个微信群在某次进行的抢红包活动中，若某人所发红包的总金额为15元，被随机分配为3.50元，4.75元，5.37元，1.38元，其4份，甲、乙、丙、丁4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于8元的概率为（    ）

A. B. C. D.

6. 难度：简单

如图，梯形中，，，为中点，则 （    ）

A. B. C. D.

7. 难度：简单

若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值是 （    ）

A. B. C. D.

8. 难度：困难

函数的图象大致为 （    ）

A. B.

C. D.

9. 难度：中等

《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（    ）

A. B. C. D.

10. 难度：简单

已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，则；

②若，则或；

③若是异面直线，那么与一定相交；

④若，则．

其中所有正确命题的编号是（    ）

A.①② B.①④ C.②③ D.②④

11. 难度：中等

已知 ，且，则下列不等式关系中正确的是（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：困难

已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以点为圆心，长为半径的圆与椭圆相交于点，，则椭圆的离心率为 （    ）

A. B. C. D.

二、填空题

13. 难度：简单

若实数满足约束条件，则的最大值为__________．

14. 难度：简单

曲线在处的切线方程为__________．

15. 难度：简单

某圆柱的高为2，体积为，其底面圆周均在同一个球面上，则此球的表面积为__________．

16. 难度：困难

已知的内角的对边长成等比数列，，

（1）则__________．

（2）若延长至使得，当面积的最大值为时，则__________.

三、解答题

17. 难度：简单

由国家统计局提供的数据可知，2012年至2018年中国居民人均可支配收入（单位：万元）的数据如下表：

年份	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年份代号	1	2	3	4	5	6	7
人均可支配收入	1.65	1.83	2.01	2.19	2.38	2.59	2.82

（1）求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2019年中国居民人均可支配收入．

附注：参考数据：，．

参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，．

18. 难度：简单

设数列的前项和为，已知.

（1）求通项公式；

（2）求的前项和.

19. 难度：简单

如图，在三角形中，，平面与半圆弧所在的平面垂直，点为半圆弧上异于的动点，为的中点.

（1）求证：；

（2）求三棱锥体积的最大值.

20. 难度：中等

已知抛物线，是上两点，且两点横坐标之和为4，直线的斜率为2.

（1）求曲线的方程；

（2）设是曲线上一点，曲线在点处的切线与直线平行，且，求直线的方程.

21. 难度：中等

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求证：当时，.

22. 难度：简单

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若，求曲线与的交点坐标；

（2）过曲线上任一点作与夹角为30°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.

23. 难度：简单

已知，函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当的最小值为4时，证明：．