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湖南省长沙市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

为虚数单位,已知复数满足,则复数在复平面内对应的点位于(   

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

 

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2. 难度:简单

如图,在三棱锥中,分别是的中点,设,用表示,则等于(   

A. B.

C. D.

 

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3. 难度:简单

,则成立的一个充分不必要条件是(   

A. B.

C. D.

 

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4. 难度:中等

设在,所对的边分别为, , 的形状为

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

 

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5. 难度:简单

的展开式中,项的系数为(   

A. B. C.45 D.90

 

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6. 难度:简单

设等差数列的前项和为,已知,则   

A. B. C.8080 D.4040

 

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7. 难度:简单

袋中有大小完全相同的个红球和个黑球,不放回地摸出两球,笫一次摸得红球为亊件, “摸得的两球同色为亊件,则概率为( )

A. B. C. D.

 

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8. 难度:简单

某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0125,为遵守所在城市元月15日至184天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是(   

A.4 B.12 C.16 D.24

 

二、多选题
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9. 难度:简单

甲、乙两类水果的质量(单位:)分别服从正态分布,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是(   

A.甲类水果的平均质量

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

 

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10. 难度:简单

设椭圆的左、右焦点分别为,点为椭圆上一动点,则下列说法中正确的是(   

A.当点不在轴上时,的周长是6

B.当点不在轴上时,面积的最大值为

C.存在点,使

D.的取值范围是

 

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11. 难度:简单

下列命题中为真命题的是(   

A.

B.

C.

D.

 

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12. 难度:中等

若直线与曲线满足下列两个条件:直线在点处与曲线相切;曲线在点附近位于直线的两侧,则称直线在点切过曲线.则下列结论正确的是(   

A.直线在点切过曲线

B.直线在点切过曲线

C.直线在点切过曲线

D.直线在点切过曲线

 

三、填空题
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13. 难度:简单

设曲线 在点处的切线方程_________________.

 

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14. 难度:简单

已知随机变量的分布列为

1

2

3

 

,则_____________

 

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15. 难度:简单

分别是双曲线的左、右焦点,是双曲线的左顶点,点在过点且斜率为的直线上,若为等腰三角形,且,则双曲线的离心率为___________.

 

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16. 难度:中等

已知是边长为的正三角形,的中点,沿折成一个大小为的二面角,设为四面体的外接球球心.

1)球心到平面的距离为_____________

2)球的体积为_____________.

 

四、解答题
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17. 难度:中等

的内角所对的边分别为的面积为,若.

1)求角的大小;

2)若的面积为,求的值.

 

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18. 难度:中等

已知等差数列满足,当.

1)求数列的通项公式;

2)若数列满足,求数列的前项和.

 

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19. 难度:困难

如图,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱是线段的延长线上一点,平面分别与相交于.

1)求证:平面

2)求当为何值时,平面平面.

 

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20. 难度:中等

在一场抛掷骰子的游戏中,游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子,游戏规则如下:抛掷1枚骰子,第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功,第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功,第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷,其中抛掷骰子不成功得0分,第1次成功得3分,第2次成功得3分,第3次成功得4.

1)求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率;

2)设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为,求随机变量的分布列和数学期望.

 

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21. 难度:困难

如图,拋物线的顶点在坐标原点,焦点在轴负半轴上,过点作直线与拋物线相交于两点,且满足.

1)求直线和拋物线的方程;

2)当拋物线上一动点从点运动到点时,求面积的最大值.

 

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22. 难度:困难

已知函数,其中为自然对数的底,为实常数.

1)当时,求函数的单调区间;

2)当时,求函数在区间上的最大值.

 

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