2020届广西柳州高级中学高三下学期开学考试数学（理）试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知集合，，则（    ）

A.∅ B. C. D.

2. 难度：简单

设(为虚数单位），其中是实数，则等于(   )

A.5 B. C. D.2

3. 难度：简单

某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（     ）

A.68 B.72 C.76 D.80

4. 难度：简单

七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是(    )

A.3600种 B.1440种 C.4820种 D.4800种

5. 难度：简单

正方形中，点，分别是，的中点，那么(   )

A. B.

C. D.

6. 难度：中等

等比数列的前项和为，公比为，若，，则（  ）

A. B.2 C. D.3

7. 难度：简单

设双曲线（，）的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（    ）

A. B. C. D.

8. 难度：简单

将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图像，则下列说法正确的是（ ）

A.y＝f（x）是奇函数

B.y＝f（x）的周期为π

C.y＝f（x）的图像关于直线x＝对称

D.y＝f（x）的图像关于点对称

9. 难度：简单

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ）

A.存在两条异面直线，.

B.存在一条直线，.

C.存在一条直线，.

D.存在两条平行直线，.

10. 难度：中等

已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（    ）

A. B. C. D.1

11. 难度：中等

关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120名同学每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对，再统计其中x，y能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m，最后根据统计个数m估计的值．如果统计结果是，那么可以估计的值为（    ）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

已知函数，设，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，则函数的最小值为_______.

14. 难度：中等

在中，，，，则__________．

15. 难度：中等

设是公差不为零的等差数列，为其前项和.已知成等比数列，且，则数列的通项公式为________.

16. 难度：困难

在三棱锥中，底面为，且，斜边上的高为，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知△ABC的内角A，B，C满足．

（1）求角A；

（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积S的最大值．

18. 难度：中等

如图，三棱锥中，平面

，，．分别为线段上的点，且．                    

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知定点，，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由。

20. 难度：中等

已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.

21. 难度：中等

某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数	0	1	2	3
台数	5	10	20	15

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

22. 难度：中等

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）若与相交于､两点，求的面积.

23. 难度：中等

已知．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若时，不等式恒成立，求a的取值范围．