2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末试卷文科数学

一、单选题

1. 难度：简单

设集合，，则

A. B. C. D.

2. 难度：简单

设复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（    ）．

A. B.的虚部是

C.在复平面内所对应的点为 D.

3. 难度：简单

设函数，则下列结论正确的是（    ）．

A.的最小正周期为 B.的图像关于直线对称

C.的一个零点为 D.在，上单调递减

4. 难度：简单

函数的图象大致为(    )

A. B.

C. D.

5. 难度：简单

某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45

若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第6个样本编号（    ）．

A.478 B.324 C.535 D.522

6. 难度：简单

对于直线和平面，能得出的一组条件是（    ）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

7. 难度：简单

已知π为圆周率，e为自然对数的底数，则

A.＜ B.π＜3 C.＞ D.π＞3

8. 难度：简单

已知三点，，，则的外接圆的圆心到原点的距离为（    ）．

A. B. C. D.

9. 难度：中等

已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的离心率为（    ）．

A. B. C.4 D.2

10. 难度：简单

在中，，，为的中点，，则等于（    ）．

A. B. C. D.3

11. 难度：简单

已知向量，满足，，则的取值范围是（    ）．

A. B. C. D.

12. 难度：中等

如图，棱长为1的正方体中，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）．

①异面直线与所成的角为

②

③三棱锥的体积为定值

④的最小值为2．

A.①②③ B.①②④ C.③④ D.②③④

二、填空题

13. 难度：简单

如图所示，在边长为2的正方形中随机撒1500粒豆子，有300粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为______．

14. 难度：简单

《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米______斛．

15. 难度：中等

现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目，有人称它为“世界第一运动”．早在2000多年前的春秋战国时代，就有了一种球类游戏“蹴鞠”，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．1863年10月26日，英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会，并统一了足球规则．人们称这一天是现代足球的诞生日．如图所示，足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的，我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面，任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱．已知足球表面中的正六边形的面为20个，则该足球表面中的正五边形的面为______个，该足球表面的棱为______条．

16. 难度：困难

已知函数的图像上存在两点关于轴对称，则实数的取值范围是______．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在四棱锥中，平面，是平行四边形，，、交于点，是上一点．

（1）求证：；

（2）已知，若为的中点，求三棱锥的体积．

18. 难度：中等

已知数列满足，．

（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的前项和．

19. 难度：简单

2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如下表．

组别
女	2	4	4	15	21	9
男	1	4	10	10	12	8

（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．

附表及公式：，．

20. 难度：中等

已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若，证明：．

21. 难度：困难

已知为椭圆上的动点，轴于，为的中点，设点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）若点，直线与曲线交于，两点，与椭圆交于，两点，问是否存在与无关的实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在请说明理由（，，，分别表示直线，，，的斜率）．

22. 难度：中等

在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，以极轴所在直线为轴建立直角坐标系，曲线分别与轴正半轴和轴正半轴交于点，，为直线上任意一点，点在射线上运动，且．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求点轨迹围成的面积．

23. 难度：中等

设函数,,存在实数,使得成立.

（1）求不等式的解集:

（2）若,,且满足,求证:.