数学奥林匹克高中训练题_116

一、单选题

1. 难度：简单

如图，凸四边形的两对角线将其分成四个部分，每个部分的面积分别为.已知.则（    ）.

A. 2    B. >2    C. <2    D. 不一定

2. 难度：简单

顺次联结双曲线与圆的交点得到一个凸四边形.则此四边形的面积为（    ）.

A. 18    B. 20    C. 22    D. 30

3. 难度：中等

已知锐角，给出下列判断：

①长为的三线段一定可构成一个三角形；

②长为的三线段一定可构成一个三角形；

③长为的三线段一定可构成一个三角形；

④长为的三线段一定可构成一个三角形.

其中，正确判断有（    ）个.

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

4. 难度：简单

已知空间四边形.则（    ）.

A.     B.

C.     D.

5. 难度：简单

函数的值域为（    ）（表示不超过实数的最大整数）.

A.     B.

C.     D.

6. 难度：简单

已知.若集合中任两个元素的和都不能被6整除，则集合中元素的个数最多为（    ）.

A. 36    B. 52    C. 74    D. 90

二、填空题

7. 难度：简单

已知数列的通项.则数列的前项的和______.

8. 难度：简单

已知.给出下列结论：①；②；③存在，使；④存在，使.其中，正确结论的序号为______.

9. 难度：中等

如图，已知棱长为1的正四面体为的中点，在线段上.则的最小值为______.

10. 难度：中等

已知是一个四位数，其各位数字之和为.若的值最小，则______.

11. 难度：简单

如图，给出16个点，其左和右相邻两点，上和下相邻两点的距离都等于1.若以这些点作为三角形的顶点，那么，一共可得到______个直角三角形.

12. 难度：中等

已知点，且满足则的取值范围是______.

三、解答题

13. 难度：困难

如图，已知正方体的棱长为1，为正方形的内切圆，为正方形的外接圆，分别为、上的点.求长度的取值范围.

14. 难度：中等

已知数列的前项和为，且满足.

（1）求数列的通项.

（2）若，求数列的最大值项.

（3）对于（2）中数列，是否存在？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由.

15. 难度：困难

已知椭圆的左焦点为，过的直线交椭圆于两点，为左准线上一点，直线的方向向量分别为.

（1）求证：成等差数列；

（2）能否成等比数列？试述理由.

16. 难度：中等

是的内切圆，依次是边上的切点，已知的欧拉线.证明：必过的外心.

17. 难度：困难

已知函数，一个矩形的两点顶点在轴的正半轴上，另两个顶点在的图像上.求此矩形绕轴旋转一周而形成的几何体的体积最大值.

18. 难度：困难

设为互不相等的正整数，它们的最小公倍数为.求证：.