数学奥林匹克高中训练题_114

一、单选题

1. 难度：简单

设为所在平面内一动点.则使得取得最小值的点是的（    ）.

A. 外心    B. 内心    C. 重心    D. 垂心

2. 难度：中等

如图，在矩形中，，，为矩形的中心，平面，，且在边上存在唯一的点，使得.若平面与平面所成的角为，则为（    ）.

A.     B.

C.     D.

3. 难度：简单

已知实数、、满足.则、、这三个数中，大于1的数最多有（    ）个.

A. 3    B. 2    C. 1    D. 0

4. 难度：简单

如图，已知椭圆 ,直线与椭圆切于点，且与轴正半轴、轴正半轴分别交于点、.若，则为（    ）.

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

已知函数 满足：

（1）对任意、，，都有；

（2）对任意，都有.则的值是（    ）.

A. 17    B. 21    C. 25    D. 29

6. 难度：中等

已知集合 ，表示和中所有不同值的个数.则的最小值是（    ）.

A. 2008    B. 2013

C. 4013    D. 4016

二、填空题

7. 难度：简单

如表，某资料室在计算机使用中，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.表1中，编码100共出现了________次.

1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5	…
1	3	5	7	9	…
1	4	7	10	13	…
1	5	9	13	17	…
…	…	…	…	…	…

8. 难度：简单

已知可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是________.

9. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，是半圆：的直径，是半圆上任意一点，延长到点，使.当点从运动到时，动点的轨迹的长度是________.

10. 难度：简单

设、、.则的最大值是________.

11. 难度：简单

如图，在直三棱柱中，，，，是线段上一动点.则的最小值是________.

12. 难度：中等

一个正整数，若不含大于1的完全平方数因子，则称为“单纯数”.那么，在这1000个数中，单纯数共有________个.

三、解答题

13. 难度：中等

已知数列满足，.求证：

（1）；

（2）.

14. 难度：中等

如图，在直角坐标平面中，凸四边形的四个顶点都在双曲线上，其中，点、在第一象限，点、在第三象限，对角线经过原点.求证：.

15. 难度：困难

一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长、、都在的定义域内，就有、、也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.

（1）若是定义在上的周期函数，且值域为，证明：不是保三角形函数；

（2）若是保三角形函数，求的最大值.

16. 难度：中等

如图，在凸四边形中，为边的中点，且.分别过点、作边、的垂线，设两条垂线的交点为.过点有作于.求证：.

17. 难度：困难

设、、，.证明：.

18. 难度：困难

将这个自然数随机地排列在的正方形方格内，对于同一行或同一列中的任意两个数，计算较大数与较小数的商，得到个分数.把最小的分数称之为这种排列的“特征值”.试求特征值的最大值.