2014年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知直线, .若,则 ______.

2. 难度：中等

函数的值域为______.

3. 难度：中等

在三棱锥D-ABC中,已知,则三棱锥的体积为______.

4. 难度：中等

设分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线在第一象限上的一点,若,则的内切圆半径为______.

5. 难度：中等

已知集合,.若,且中恰有一个整数,则的取值范围是______.

6. 难度：困难

若分数化成小数为,则当取最小值时, ______.

7. 难度：困难

随机地投掷三颗色子其中有两颗色子出现的点数之和为的概率是______.

8. 难度：中等

已知点,平面区域D由所有满足的点组成的区域若区域的面积为8, 则的最小值为______.

9. 难度：困难

被63除的余数为______ (表示不超过实数的最大整数).

10. 难度：困难

若为关于的方程的三个实根,则m的最小值为______.

二、解答题

11. 难度：中等

已知{an}为递增的等比数列,且.记,数列的前项和为证明:对一切正整数,均有.

12. 难度：中等

已知为椭圆：的右焦点，椭圆上任意一点 到点的距离与点到直线：

的距离之比为。

（1）求直线方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点，以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

13. 难度：中等

如图,在五边形 中,已知, ,,为的中点, 为的外心,且.延长至点,使得.证明:

(1) ;

(2)

14. 难度：困难

已知

(1)若时, 恒成立,求实数的取值范围;

(2)证明:对一切正整数n,均有

15. 难度：困难

给定2014个和为1的非负实数. 证明:存在的一个排列，满足.