2014年全国高中数学联合竞赛试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若正数，满足，则         ．

2. 难度：中等

设集合中的最大、最小元素分别为M、m，则的值为___________.

3. 难度：中等

若函数在上单调递增，则实数的取值范围是    .

4. 难度：中等

已知数列满足.则___________.

5. 难度：困难

四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.

6. 难度：困难

设椭圆的两个焦点为，过点的直线与椭圆交于点P、Q.若，且，则椭圆的短轴与长轴的比值为__________.

7. 难度：困难

设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.

8. 难度：中等

设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_______.

二、解答题

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，P为不在x轴上的一个动点，且满足过点P可作抛物线的两条切线，两切点连线与PO垂直，直线与PO、x轴的交点分别为Q、R.

（1）证明：R为一个定点；

（2）求的最小值.

10. 难度：困难

已知数列满足.求正整数m使得.

11. 难度：中等

确定所有的复数，使得对任意复数，均有.

12. 难度：困难

设实数a、b、c满足，.证明：.

13. 难度：困难

如图，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足，直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G、CF与BD交于点M，CE与BG交于点N.证明：.

14. 难度：困难

设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

15. 难度：困难

设整数模2014互不同余，整数模2014也互不同余.证明：可将重新排列为，使得模4028互不同余.