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江苏省南通市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷
一、填空题
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1. 难度:简单

已知集合 集合中元素的个数为__________.

 

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2. 难度:简单

已知是等差数列,是其前项和,若=10,,则的值是___________.

 

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3. 难度:简单

若不等式的解集为,则的值为__________

 

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4. 难度:简单

曲线在点处的切线方程为__________.(写出斜截式方程

 

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5. 难度:简单

已知向量ab满足a·b = ____________

 

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6. 难度:中等

,则____________.

 

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7. 难度:简单

已知实数满足不等式组的最大值为__________.

 

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8. 难度:简单

已知椭圆的焦点轴上,且焦距为4,则m =_______.

 

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9. 难度:简单

在数列是其前项和,则的值是__________.

 

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10. 难度:简单

平面上三条直线x–2y+1=0,x–1=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分为六个部分,则实数k的取值组成的集合A=__________.

 

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11. 难度:中等

若直线过点的最小值为__________.

 

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12. 难度:简单

已知P在椭圆上,是椭圆的两个焦点,的三条边长成等差数列,则椭圆的离心率e =___________.

 

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13. 难度:中等

直线与直线相交于点M,则长度的最小值为___________.

 

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14. 难度:中等

定义:点到直线的有向距离为已知点,直线m过点若圆上存在一点使得三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m斜率的取值范围是__________.

 

二、解答题
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15. 难度:中等

如图,在四棱锥中,底面是正方形, 平面,且,点为线段的中点.

 

 

(1)求证:平面;   

(2)求证:平面.

 

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16. 难度:简单

如图,是单位圆O上的点,CD分别是圆Ox轴的两交点,为正三角形.

1)若点坐标为,求的值;

(2)若,四边形CABD的周长为y试将y表示成x的函数,并求出y的最大值.

 

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17. 难度:简单

已知函数,其中R.

(1)当时,求函数上的值域

(2)若函数上的最小值为3,求实数k的取值范围.

 

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18. 难度:中等

某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M,过点M且与OM即北偏西)的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示),在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从O处即刻出发,按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在P处恰好截获可疑船.

(1)如果OA相距6海里,求可疑船被截获处的点P的轨迹;

(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上).则之间的最大距离是多少海里?

 

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19. 难度:困难

在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的离心率为,且过点过椭圆的左顶点A作直线M为直线上的动点B为椭圆右顶点,直线BM交椭圆CP

 

(1)求椭圆C的方程;

(2)求证:

(3)试问是否为定值若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.

 

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20. 难度:简单

已知常数λ≥0,设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:a1 = 1,

).

(1)若λ = 0,求数列{an}的通项公式;

(2)若对一切恒成立,求实数λ的取值范围.

 

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