浙江省宁波市2019届高三上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

设全集，集合，则集合（    ）

A.     B.

C.     D.

2. 难度：简单

某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

记为等差数列的前项和,若, 则（ ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

满足线性约束条件的目标函数的最大值是 （  ）

A. 1    B.     C. 2    D. 3

5. 难度：简单

已知函数，则函数的图象为（    ）

A.     B.

C.     D.

6. 难度：简单

若、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ）

①若直线，则在平面内一定不存在与直线平行的直线．

②若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线垂直．

③若直线，则在平面内不一定存在与直线垂直的直线．

④若直线，则在平面内一定存在与直线垂直的直线．

A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④

7. 难度：中等

已知，那么（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：困难

已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：困难

如图，在三棱柱中，底面为边长为的正三角形，在底面的射影为中点且到底面的距离为，已知分别是线段与上的动点，记线段中点的轨迹为，则等于（    ）(注：表示的测度，本题中若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

11. 难度：简单

中国古代数学著作《九章算术》中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_________________贯，第12月营收贯数为_________________.

12. 难度：简单

的最小正周期为_________________，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向左最小移动_______个单位

13. 难度：简单

已知直线，其中，若，则=______，若，则=__________.

14. 难度：中等

已知，且，则的最小值_________，此时的值为___________.

15. 难度：困难

已知两不共线的非零向量满足,,则向量与夹角的最大值是__________.

16. 难度：中等

已知数列为等差数列，其前项和为，且，给出以下结论：①②最小③④，正确的有_________________.

17. 难度：中等

设函数，若存在互不相等的个实数，使得，则的取值范围为__________.

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数

（1）求函数图象对称中心的坐标；

（2）如果的三边满足，且边所对的角为，求的取值范围．

19. 难度：中等

已知数列的前项和为，且，

（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．

20. 难度：中等

如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，点是线段上靠近点的三等分点

（1）求证：

（2）若是边长为的等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值

21. 难度：困难

如图，为坐标原点，点为抛物线的焦点，且抛物线上点处的切线与圆相切于点

（1）当直线的方程为时，求抛物线的方程；

（2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值。

22. 难度：困难

已知，函数在点处与轴相切

（1）求的值，并求的单调区间；

（2）当时，，求实数的取值范围。