2014年北京市生数学竞赛复赛高一试卷

一、填空题

1. 难度：中等

表示自然数的数字和.则满足的的集合为______.

2. 难度：中等

记的解集为，的解集为.已知.则实数的取值范围是______.

3. 难度：中等

已知图1为偶函数的图像，图2为奇函数的图像.

记方程的实数根的个数分别为、、、.则______.

4. 难度：中等

在中，已知，角平分线与中线交于点.则______.

5. 难度：困难

设集合.若集合中任意两个数的差均不为99的倍数，且任意两个数的和也不为99的倍数，则集合中最多含有______个元素.

二、解答题

6. 难度：中等

如图，以锐角的边为直径的圆分别与边、交于点、.证明：.

7. 难度：困难

在方格表的方格中任意排布1~36的全部整数，每个方格只有一个数.证明：在方格表中的某行里存在这样两个相邻的数，若取它们中的较小者作为二次三项式的系数，较大者作为常数，则得到的一元二次方程具有两个不同的实根.

8. 难度：困难

求满足不等式组的整数数对的个数.

9. 难度：困难

在中，已知，三条角平分线分别与对边交于点、、，的内心为.证明：

（1）；

（2）为等腰三角形.

10. 难度：困难

已知为定义在实数集上的函数，对任意的、，恒有.求，并计算的值.