北京市少年班2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

在中，若，则的形状是（    ）．

A. 锐角三角形    B. 钝角三角形    C. 直角三角形    D. 无法确定

2. 难度：中等

对一个容量为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）

A.     B.

C.     D.

3. 难度：中等

若非零实数，，满足，则一定成立的不等式是（    ）．

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

函数，定义数列如下：，，若给定的值，得到无穷数列满足：对任意正整数，均有，则的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

设，，则下列不等式中不恒成立的是（    ）．

A.     B.

C.     D.

8. 难度：中等

总体由编号为，，，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体．选取的方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第个个体的编号为（    ）．

                  

                  

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）．

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

如图是，两组各名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（    ）．（注：标准差，其中为，，，的平均数）

A. ，    B. ，

C. ，    D. ，

11. 难度：中等

如图给出的是计算的一个程序框图，则判断框内应填入关于的不等式为（    ）．

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（    ）．

A. ，    B. ，    C. ，    D. ，，

13. 难度：中等

袋中装有个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D.

14. 难度：简单

已知数列的前项的乘积为，其中为常数，，若，则c=（     ）

A．4          B．3         C．2        D．1

15. 难度：简单

2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人

分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有

A. 36种    B. 12种    C. 18种    D. 48种

16. 难度：简单

若，则的值为（  　  ）

A.     B.     C.     D.

17. 难度：中等

有个人同乘一列有节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D.

18. 难度：中等

某车站，每天均有辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车等级高则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D.

19. 难度：中等

在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为，，，，的名火炬手．若从中任选人，则选出的火炬手的编号能组成为公差的等差数列的概率为（    ）．

A.     B.     C.     D.

20. 难度：中等

已知数列，，，具有性质；对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：

①数列，，，具有性质；

②若数列具有性质，则；

③若数列，，具有性质，则．

其中，正确结论的个数是（    ）．

A.     B.     C.     D.

21. 难度：简单

满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（   ）

A. 或    B. 2或    C. 2或1    D. 2或-1

22. 难度：困难

函数．若存在，使得，则的取值范围是（    ）．

A.     B.     C.     D.

23. 难度：中等

设为坐标原点，点， 是正半轴上一点，则中的最大值为（  ）

A.     B.     C.     D.

24. 难度：中等

数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ）．

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

25. 难度：困难

将五个，五个，五个，五个，五个共个数填入一个行列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为，则的最大值为（    ）．

A.     B.     C.     D.

二、填空题

26. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若，则输出的__________；若输出的，则整数 __________．

27. 难度：中等

某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的，在一次考试中，男、女生平均分数依次为、，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．

28. 难度：中等

在一个有三个孩子的家庭中，已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________．

29. 难度：简单

在△的边上有个点，边上有个点，加上点共12个点，以这个点为顶点的三角形有      个.

30. 难度：中等

如图，在的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．

31. 难度：中等

从中随机选一个数，从中随机选一个数，则的概率等

于___.

32. 难度：中等

已知正方形．

（）在，，，四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．

（）向正方形内任投一点，则的面积大于正方形面积四分之一的概率是__________．

33. 难度：中等

已知当实数，满足时，恒成立，给出以下命题：

①点所形成的平面区域的面积等于．

②的最大值等于．

③以，为坐标的点所形成的平面区域的面积等于．

④的最大值等于，最小值等于．

其中，所有正确命题的序号是__________．

34. 难度：困难

设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．

（）若，则__________．

（）的最大值是__________．

35. 难度：中等

若不等式恒成立，则的范围__________．

36. 难度：中等

当时，不等式恒成立，则的取值范围是__________．

三、解答题

37. 难度：中等

已知为锐角三角形，，，分别为角，，所对的边，且．

（）求角．

（）当时，求面积的最大值．

38. 难度：中等

已知函数，其中．

（Ⅰ）若，求在区间上的最大值和最小值．

（Ⅱ）解关于的不等式．

39. 难度：中等

在参加某次社会实践的学生中随机选取名学生的成绩作为样本，这名学生的成绩全部在分至分之间，现将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；第六组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的名学生中．

（Ⅰ）求的值及成绩在区间内的学生人数．

（Ⅱ）从成绩小于分的学生中随机选名学生，求最多有名学生成绩在区间内的概率．

40. 难度：困难

已知数列的前项和，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式．

（Ⅱ）若数列满足，．

（ⅰ）证明：数列为等差数列．

（ⅱ）求数列的前项和．

41. 难度：中等

某大学调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，从在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为分．

整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：

A餐厅分数频率分布直方图

餐厅分数频数分布表

分数区间	频数

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

分数
满意度指数

（Ⅰ）在抽样的人中，求对餐厅评价“满意度指数”为的人数．

（Ⅱ）从该校在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取人进行调查，试估计其对餐厅评价的“满意度指数”比对餐厅评价的“满意度指数”高的概率．

（Ⅲ）如果从，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

42. 难度：中等

设，不等式的解集记为集合．

（Ⅰ）若，求的值．

（Ⅱ）当时，求集合．

（Ⅲ）若，求的取值范围．

43. 难度：简单

已知数列是首项为1，公比为q的等比数列。

（I）证明：当时，是递减数列；

（II）若对任意，都有成等差数列，求q的值

44. 难度：中等

（题文）从某校高一年级随机抽取名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：

组号	分组	频数	频率

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）若，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为，求，的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于小时的概率．

45. 难度：中等

已知关于的一元二次方程，其中。

（I）若随机选自集合，随机选自集合，求方程有实根的概率;

（Ⅱ）若随机选自区间，随机选自区间，求方程有实根的概率。

46. 难度：中等

经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于与之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取人，按上学所学时间分组如下：第组，第组，第组，第组，第组，得打如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）根据图中数据求的值．

（Ⅱ）若从第，，组中用分成抽样的方法抽取人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这人中随机抽取人参加交通安全宣传活动，求第组至少有人被抽中的概率．

47. 难度：中等

一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为，，，，，．

（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求取出的两个球编号之和为的概率．

（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，求恰有次抽到号球的概率．

（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取个球，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．

（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取个球，有放回的抽取次，记球的最大编号为，求随机变量的分布列．

48. 难度：中等

在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度

测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	14

1根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

2从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

3试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

49. 难度：中等

已知数列的通项公式为，其中是常数，．

（Ⅰ）当时，求的值．

（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？证明你的结论．

（Ⅲ）若对于任意，都有，求的取值范围．

四、填空题

50. 难度：中等

设，，求和：__________．

51. 难度：简单

设数列的通项公式为，数列定义如下：对任意，是数列中不大于的项的个数，则__________；数列的前项和__________

52. 难度：困难

已知函数，．当时，若存在，使得，则的取值范围为__________．

五、单选题

53. 难度：简单

设不等式组表示的平面区域是W，则W中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（    ）

A．231         B．230         C．219        D．218