2017-2018学年黑龙江省黑河市高二 （上）期中数学试卷（理科）

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线y=4x²的焦点坐标是（　　）

A. （0，1）    B. （1，0）    C.     D.

2. 难度：简单

若椭圆上一点P到焦点F₁的距离为6，则点P到另一个焦点F₂的距离为（　　）

A. 2    B. 4    C. 6    D. 8

3. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F（0，3），离心率为，则C的方程是（　　）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（　　）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

已知实数p＞0，曲线为参数，）上的点A（2，m），圆为参数）的圆心为点B，若A、B两点间的距离等于圆C₂的半径，则p=（　　）

A. 4    B. 6    C. 8    D. 10

6. 难度：困难

已知椭圆C： 的左右焦点分别为F₁、F₂，则在椭圆C上满足的点P的个数有（　　）

A. 0    B. 2    C. 3    D. 4

7. 难度：困难

已知P是抛物线x²=4y上的一个动点，则点P到直线l₁：4x﹣3y﹣7=0和l₂：y+2=0的距离之和的最小值是（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

8. 难度：中等

圆（x﹣1）²+（y+1）²=r²上有且仅有两个点到直线4x+3y﹣11=0的距离等于1，则半径r的取值范围是（　　）

A. r＞1    B. r＜3    C. 1＜r＜3    D. 1＜r＜2

9. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²﹣y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（　　）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，且OA⊥OB，则直线l过定点（　　）

A. （1，0）    B. （2，0）    C. （3，0）    D. （4，0）

12. 难度：困难

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（　　）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB⊥AC，且AA₁=AB=AC，则异面直线AB₁与BC₁所成角为_____．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知圆C的圆心为，半径为5，直线被圆截得的弦长为8，则α=_____．

15. 难度：中等

已知点P（1，3）为圆x²+y²+x﹣6y+m=0外一点，则实数m的取值范围为_____．

16. 难度：困难

已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B₂、B₁、A、F，延长B₁F与AB₂交于点P，若∠B₁PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

已知：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为： 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程．

18. 难度：中等

已知在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，且PA=AC=BC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（Ⅰ）求证：PB⊥平面AEF；

（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．

20. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线

C：（y－2）²－x²＝1交于A、B两点．

（1）求|AB|的长；

（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

21. 难度：困难

已知在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（Ⅰ）求证：D₁E⊥A₁D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD₁与平面D₁EC成的角为？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．

22. 难度：简单

椭圆的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，过点F₁且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的A，B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q满足： （O为坐标原点）．求实数λ的取值范围．