河北省2017届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合， 或，则（   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：简单

某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（   ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是 （   ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

若实数满足条件，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：简单

已知，则二项式的展开式中的常数项为（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：困难

已知奇函数的导函数的部分图象如图所示， 是最高点，且是边长为的正三角形，那么（   ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）

A.     B.

C.     D.

10. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，输出的值等于（   ）

A.     B.

C.     D.

11. 难度：中等

椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （   ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知，若，则__________．

14. 难度：简单

在中， 分别为角的对边， ，若，则__________．

15. 难度：中等

已知点分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．

16. 难度：压轴

点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．

三、解答题

17. 难度：简单

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设以为公比的等比数列满足），求数列的前项和.

18. 难度：简单

如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.

（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；

（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.

19. 难度：简单

如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.

（1）求证： 平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.

（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

21. 难度：困难

设函数.

（1）若直线和函数的图象相切，求的值；

（2）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，

求的取值范围.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数， ）. 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知定义在上的函数，且恒成立.

（1）求实数的值；

（2）若，求证： .