河北省2017届高三下学期第二次摸底考试数学（文）试卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合， 或，则（   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（   ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

3. 难度：中等

已知命题一组数据的平均数一定比中位数小；命题，则下列命题中为真命题的是 （   ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

设函数，若，则实数（   ）

A.     B.     C. 或     D. 或

5. 难度：中等

若实数满足条件，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

运行如图所示的程序框图，输出的结果等于（   ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

若以为公比的等比数列满足，则数列的首项为（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

已知函数的图象向左平移个单位所得的奇函数的部分图象如图所示，且是边长为的正三角形，则在下列区间递减的是 （   ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

已知分别是双曲线的左、右焦点， 分别是双曲线的左、右支上关于轴对称的两点，且，则双曲线的两条渐近线的斜率之积为（   ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）

A.     B.

C.     D.

11. 难度：中等

椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （   ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

设函数为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足： ，且当时， ，若存在，使得，则实数的取值范围为（   ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二 人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为__________．

14. 难度：中等

中， ），若，则__________．

15. 难度：中等

《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里.良马初日行一百零三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意:“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是里.良马第一天走里，之后每天比前一天多走里.驽马笫一天走里，之后每天比前一天少走里.良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中驽马从出发到相遇行走的路程为__________ 里.

16. 难度：中等

点是棱长为的正方体的内切球球面上的动点，点为上一点， ，则动点的轨迹的长度为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

在中，内角的对边分别为，已知.

（1）求；

（2）若，求面积.

18. 难度：中等

如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染.

（1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留天（到达当日算天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为天的概率；

（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的天到达该市，求这天中空气质量恰有天是重度污染的概率.

19. 难度：中等

如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形， ，且与均为正三角形， 为的重心.

（1）求证： 平面；

（2）求点到平面的距离.

20. 难度：中等

已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.

（1）若当点的横坐标为，且为等腰三角形，求的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

21. 难度：困难

函数，．

（Ⅰ）讨论的极值点的个数；

（Ⅱ）若对于，总有.（i）求实数的范围； （ii）求证：对于，不等式成立．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数， ）. 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.

（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；

（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知定义在上的函数，且恒成立.

（1）求实数的值；

（2）若，求证： .