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吉林省2017届高三第七次模拟考试数学(理)试卷
一、选择题
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1. 难度:简单

复数是虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是(   )

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

 

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2. 难度:简单

已知集合,若,则实数的取值范围是(   )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:中等

已知是两个不重合的平面,直线,直线,则“相交”是“直线异面”的(    )

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

 

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4. 难度:简单

已知函数,执行如图所示的程序框图,输出的

值是(   )

A.     B. 5    C.     D.

 

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5. 难度:简单

已知函数为常数, )在处取得最大值,则函数是(   )

A. 奇函数且它的图象关于点对称    B. 偶函数且它的图象关于点对称

C. 奇函数且它的图象关于点对称    D. 偶函数且它的图象关于点对称

 

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6. 难度:简单

设单位向量的夹角为 ,则方向上的投影为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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7. 难度:中等

某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个边长为的等边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则这个几何体的体积为(   )

A.     B.

C.     D.

 

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8. 难度:简单

已知,则的值为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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9. 难度:困难

已知圆 和两点 ,若圆上存在点,使得,则的最小值为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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10. 难度:困难

已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项,则(   )

A.     B.     C.     D.

 

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11. 难度:简单

过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行,并交抛物线于两点,若,且,则抛物线的方程为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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12. 难度:困难

已知函数满足,且,则函数(   )

A. 有极大值,无极小值    B. 有极小值,无极大值

C. 既有极大值,又有极小值    D. 既无极大值,也无极小值

 

二、填空题
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13. 难度:简单

中,角所对边分别为,且 ,面积,则____________.

 

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14. 难度:中等

已知表示的平面区域为,若为真命题,则实数的取值范围是___________.

 

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15. 难度:简单

某单位员工按年龄分为三组,其人数之比为,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本,若组中甲、乙二人均被抽到的概率是,则该单位员工总数为______________.

 

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16. 难度:中等

设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数:

是定义在实数集上的奇函数,且对一切均有.

其中是“条件约束函数”的序号是__________(写出符合条件的全部序号).

 

三、解答题
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17. 难度:中等

在各项均为正数的等比数列中, ,且成等差数列.

(Ⅰ)求等比数列的通项公式;

(Ⅱ)若数列满足,数列的前项和为,求证: .

 

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18. 难度:中等

如图,直角三角形中, 为线段上一点,且,沿边上的中线折起到的位置.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)当平面平面时,求二面角的余弦值.

 

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19. 难度:中等

某厂每日生产一种大型产品每件产品的投入成本为. 产品质量为一等品的概率为二等品的概率为. 每件一等品的出厂价为每件二等品的出厂价为若产品质量不能达到一等品或二等品除成本不能收回外每生产件产品还会带来元的损失.

(Ⅰ)求在连续生产的天中,恰有一天生产的件产品都为一等品的概率;

(Ⅱ)已知该厂某日生产的这种大型产品件中有件为一等品,求另件也为一等品的概率;

(Ⅲ)求该厂每日生产这种产品所获利润(元)的分布列和期望.

 

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20. 难度:简单

在平面直角坐标系中,已知椭圆 的离心率,且椭圆上一点到点的距离的最大值为.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设 为抛物线 上一动点,过点作抛物线的切线交椭圆两点,求面积的最大值.

 

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21. 难度:困难

已知,其中为自然对数的底数.

(Ⅰ)设(其中的导函数),判断上的单调性;

(Ⅱ)若无零点,试确定正数的取值范围.

 

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22. 难度:中等

选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,曲线的方程为,在以原点为极点, 轴的非负关轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.

(1)将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和倍后得到曲线,求曲线的参数方程;

(2)若分别为曲线与直线的两个动点,求的最小值以及此时点的坐标.

 

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23. 难度:中等

选修4-5:不等式选讲

已知函数.

(Ⅰ)若不等式有解,求实数的最小值

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若正数满足,证明: .

 

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