四川省成都市毕业班第三次诊断检测数学（文）试卷

一、选择题

1. 难度：简单

设集合， ，则 (   )

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对

   应的复数为，则（  　）

A.     B. 5    C.     D.

3. 难度：中等

在等比数列中， ，公比．若，则 (   )

A. 11    B. 10    C. 9    D. 8

4. 难度：中等

是表示空气质量的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201，则下列叙述不正确的是(   )

A. 这12天中有6天空气质量为“优良”

B. 这12天中空气质量最好的是4月9日

C. 这12天的指数值的中位数是90

D. 从4日到9日，空气质量越来越好

5. 难度：简单

已知平面向量， ，向量与垂直，则实数的值为(   )

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

已知双曲线，直线．若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为(   )

A. 1    B. 2    C.     D. 4

7. 难度：中等

高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为(   )

A. 6    B. 7    C. 8    D. 9

8. 难度：中等

在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中， 平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，点．若线段与抛物线相交于点，则 (   )

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

已知函数．给出下列命题：①函数的值域为；②为函数的一条对称轴；③为奇函数；④， 对恒成立．其中的真命题有(   )

A. ①②    B. ③④    C. ②③    D. ①④

11. 难度：困难

如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(   )

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

在递减等差数列 中， ．若，则数列的前项和的最大值为 (   )

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

若，则的值为__________．

14. 难度：中等

若变量满足约束条件，则的最小值为__________．

15. 难度：中等

已知函数，其中．若曲线在点处的切线方程为，则__________．

16. 难度：困难

如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

的内角的对边分别为，已知．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的长．

18. 难度：中等

如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形， ，四边形是矩形，平面平面， ， 为线段的中点．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）求证： ．

19. 难度：中等

2017年某市街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：

年龄
受访人数	5	6	15	9	10	5
支持发展共享单车人数	4	5	12	9	7	3

（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系：

	年龄低于35岁	年龄不低于35岁	合计
支持
不支持
合计

（Ⅱ）若对年龄在的被调查人中随机选取两人，对年龄在的被调查人中随机选取一人进行调查，求选中的3人中支持发展共享单车的人数为2人的概率．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式： ，其中．

20. 难度：困难

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．

21. 难度：压轴

已知函数．

（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（Ⅱ）设函数，在（Ⅰ）的条件下，试判断在上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围．