四川省成都市毕业班第三次诊断检测数学（理）试卷_满分5

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2. 难度：简单
已知复数．若在复平面内对应的点分别为，线段的中点对应的复数为，则（　） A. B. 5 C. D.

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4. 难度：中等
是表示空气质量的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日指数值的统计数据，图中点表示4月1日的指数值为201，则下列叙述不正确的是( ) A. 这12天中有6天空气质量为“优良” B. 这12天中空气质量最好的是4月9日 C. 这12天的指数值的中位数是90 D. 从4日到9日，空气质量越来越好

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5. 难度：中等
已知双曲线，直线．若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( ) A. 1 B. 2 C. D. 4

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6. 难度：中等
高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1．执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

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7. 难度：中等
已知，是曲线与轴围成的封闭区域．若向区域内随机投入一点，则点落入区域的概率为（　） A. B. C. D.

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8. 难度：中等
在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　） A. B. C. D.

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9. 难度：困难
已知抛物线的焦点为，点．若射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，且，则点的纵坐标为（　） A. B. C. D.

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10. 难度：困难
已知函数．给出下列命题：①为奇函数；②，对恒成立；③，若，则的最小值为；④，若，则．其中的真命题有（　） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④

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11. 难度：困难
如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A. B. C. D.

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12. 难度：困难
设等差数列的前项和为，其中且．则数列的前项和的最大值为（　） A. B. C. D.

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15. 难度：困难
从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________．（用数字作答）

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16. 难度：困难
如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底是半圆的直径，上底的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为__________．

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18. 难度：中等
如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，．为线段上一点，且平面．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．

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19. 难度：中等

几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．

为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：

年龄

受访人数

5

6

15

9

10

5

支持发展

共享单车人数

4

5

12

9

7

3

（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

（Ⅱ）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

参考数据：

	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：，其中．

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20. 难度：中等
已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

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21. 难度：困难
已知函数．（Ⅰ）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．

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22. 难度：中等
选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离．

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23. 难度：中等
选修4-5：不等式选讲已知．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若函数的值域为，且，求的取值范围．