上海市宝山区2017届高三4月期中教学质量监控（二模）数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

若集合， ，则_______．

2. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则_______．

3. 难度：简单

函数的最小正周期是_______．

4. 难度：中等

已知双曲线（）的一条渐近线方程为，则_______．

5. 难度：中等

若圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则圆柱的体积为_______．

6. 难度：中等

已知满足，则的最大值是_______．

7. 难度：中等

直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是_______．

8. 难度：困难

已知函数的反函数是，则_______．

9. 难度：中等

设多项式（）的展开式中项的系数为，则_______．

10. 难度：中等

生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为和，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是，则_______．

11. 难度：中等

设向量), ， 为曲线（）上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_______．

12. 难度：压轴

设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为_______．

13. 难度：简单

设，则“”是“且”的………………………（　　）

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分又不必要条件

二、选择题

14. 难度：中等

如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是…………………………………………………………………（    ）

A. ①②③④    B. ①③    C. ①④    D. ②④

15. 难度：困难

如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为．点

分别在上， ，则的最大值为…………………（    ）

A.     B.     C.     D.

16. 难度：困难

若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”．设（），若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是…（  ）

A.     B.     C.     D.

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在正方体中， 分别是线段的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求直线与平面所成角的大小．

18. 难度：困难

已知抛物线（），其准线方程为，直线过点（）且与抛物线交于两点， 为坐标原点．

（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；

（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式．

19. 难度：困难

对于定义域为的函数，如果存在区间（），同时满足：

①在内是单调函数；②当定义域是时， 的值域也是．

则称函数是区间上的“保值函数”．

（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；

（2）已知（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围．

20. 难度：困难

数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为．（这里均为实数）

（1）若是等差数列，求的值；

（2）若，求；

（3）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

设，若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界．

（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；

（2）已知，记（）．若，

，且为有界集合，求的值及的取值范围；

（3）设均为正数，将中的最小数记为．是否存在正数，使得为有界集合， 均为正数的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由．