河北省2017届高三下学期一模考试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合， ，则（   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

设复数满足（为虚数单位），则（    ）

A.     B.     C.            D.

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（   ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

的值为（   ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

若变量满足不等式组，且的最大值为7，则实数的值为（     ）

A. 1    B. 7    C. -1    D. -7

6. 难度：中等

甲乙和其他名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这名同学的站队方法有（    ）

A. 种    B. 种    C. 种    D. 种

7. 难度：困难

在中， ，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时， 的值为(   )

A.     B. 3    C.     D.

8. 难度：中等

如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为17,14，则输出的=(   )

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

9. 难度：中等

已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

在区间内随机取两个数分别记为,则函数有零点的概率（   ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：困难

在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：压轴

定义：如果函数在上存在满足， ， 则称函数是上的“中值函数”.已知函数是上的“中值函数”，则实数的取值范围是（   ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知角的始边与轴非负半轴重台，终边在射线上，则______．

14. 难度：中等

的展开式中的系数为__________．（用数字作答）

15. 难度：中等

意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：.该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则

______．

16. 难度：困难

已知①当时， ,则__________.当时，若有三个不等实数根，且它们成等差数列，则___________.

三、解答题

17. 难度：困难

已知数列中，，其前项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围．

18. 难度：困难

某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按， ， ， ， 分组，整理如下图：

（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为， ，试比较与的大小（只需写出结论）；

（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间的数据样本中抽取3个，记在内的数据个数为，求的分布列；

（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间中的个数．

19. 难度：中等

（本小题共14分）

如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形， .

(Ⅰ)求证： 平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

20. 难度：困难

已知椭圆过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．

21. 难度：压轴

设函数， ， .

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数有两个零点，试求的取值范围；

（3）证明.

22. 难度：中等

选修：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线的极坐标方程为．

(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；

(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标．

23. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲

已知关于的不等式的解集为．

(1)求的最大值；

(2)已知，，，且，求的最小值及此时，，的值．