广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试卷

一、选择题

1. 难度：简单

集合，则（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

已知复数满足， 为虚数单位，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

设实数，则函数有零点的概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （    ）

A. 18    B. 24    C. 36    D. 42

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点， 的始边是轴的非负半轴，终边分别在射线和上，则的值为 （    ）

A.     B.     C. 0    D.

7. 难度：中等

已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为 （    ）

A. 0    B. 1    C.     D.

8. 难度：中等

过双曲线的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A. 36    B. 48    C. 64    D. 72

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 （    ）

A. 7    B. 6    C. 5    D. 4

11. 难度：中等

设椭圆的左、右焦点分别为 ，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（    ）

A.     B.     C.     D.

13. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为，则__________．

二、填空题

14. 难度：中等

若函数（为大于0的常数）在上的最小值为3，则实数的值为__________．

15. 难度：中等

已知分别为长方体的棱的中点，若， ，则四面体的外接球的表面积为__________．

16. 难度：中等

我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即的面积，其中分别为内角的对边.若，且，则的面积的最大值为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

数列是公差为的等差数列， 为其前项和， 成等比数列.

（1）证明： 成等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

18. 难度：中等

如图，在三棱柱中， 为的中点， ， .

（1）求证： 平面；

（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

19. 难度：中等

随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的拆线图.

（1）由拆线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码之间的关系．求关于的线性回归方程，并预测公司2017年4月份（即时）的市场占有率；

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：

车型    报废年限	1年	2年	3年	4年	总计
	20	35	35	10	100
	10	30	40	20	100

经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

（参考公式：回归直线方程为，其中）

20. 难度：中等

平面直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）设过定点（为非零常数）的动直线与曲线交于两点，问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

21. 难度：中等

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）函数的图象能否与轴相切？若能与轴相切，求实数的值；否则，请说明理由；

（2）若函数在上单调递增，求实数能取到的最大整数值.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，点，曲线 ，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

（1）在直角坐标系中，求点的直角坐标及曲线的参数方程；

（2）设点为曲线上的动点，求的取值范围.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若存在实数，使，求实数的取值范围.