2017届内蒙古省百校联盟高三3月教学质量监测考试理课甲卷数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合， ，则（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为（    ）

A.     B. 2    C. 4    D. 8

3. 难度：简单

已知两个随机变量， 之间的相关关系如下表所示：

根据上述数据得到的回归方程为，则大致可以判断（    ）

A. ，     B. ，     C. ，     D. ，

4. 难度：简单

已知向量， ， ，若，则（    ）

A. 9    B. 3    C.     D.

5. 难度：中等

已知等比数列的前项积为，若，则的值为（    ）

A.     B. 512    C.     D. 1024

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

7. 难度：中等

已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为， ， ， ，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

已知过点的直线与圆： 相切于点（在第一象限内），则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

函数的图象的大致形状为（    ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：困难

已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（    ）

A.     B.

C.     D.

11. 难度：中等

已知双曲线： （， ）的左右焦点分别为、，点关于双曲线的一条渐近线的对称点在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（    ）

A.     B.     C. 2    D.

12. 难度：困难

定义在上的函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

的展开式中，含项的系数为__________（用数字填写答案）．

14. 难度：中等

已知实数， 满足，则的取值范围为__________．

15. 难度：中等

各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．

16. 难度：困难

如图所示，三棱锥中， 是边长为3的等边三角形， 是线段的中点， ，且，若， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在中，角、、的对边分别为、、，且、、成等比数列， .

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，求的周长和面积.

18. 难度：中等

每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图.

男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）

（Ⅰ）根据女生年阅读量的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位数；

（Ⅱ）若年不小于40本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；

（Ⅲ）在样本中，从年阅读量在的学生中，随机抽取2人参加全市的征文比赛，记这2人中男生人数为，求的分布列和期望.

附： ，其中

19. 难度：中等

如图，已知矩形中， 、分别是、上的点， ， ， ， 、分别是、的中点，现沿着翻折，使得二面角大小为.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

20. 难度：困难

已知椭圆： （）的离心率为，点是椭圆的上顶点，点在椭圆上（异于点）.

（Ⅰ）若椭圆过点，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线： 与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过点，证明：存在， .

21. 难度：压轴

已知函数，其中.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）证明： （， ）.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的长度.

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）记函数，在下列坐标系中作出函数的图象，并根据图象求出函数的最小值；

（Ⅱ）记不等式的解集为，若， ，且，求实数的取值范围.