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2017届湖南省长沙市高三第二次模拟考试数学(理)试卷(解析版)
一、选择题
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1. 难度:简单

若集合 ,则满足的集合的个数为(   )

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

 

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2. 难度:简单

若复数满足为虚数单位),则(   )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:简单

”是“直线的倾斜角大于”的(    )

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

 

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4. 难度:中等

已知数列是首项为1,公差为)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差可能是(   )

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

 

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5. 难度:中等

给出关于双曲线的三个命题:

①双曲线的渐近线方程是

②若点在焦距为4的双曲线上,则此双曲线的离心率

③若点分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.

其中正确的命题的个数是(    )

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

 

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6. 难度:简单

记不等式组所表示的平面区域为,若对任意,不等式恒成立,则的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

 

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7. 难度:中等

将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角),得到曲线,若对于每一个旋转角,曲线都仍然是一个函数的图象,则的最大值为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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8. 难度:简单

在体积为的球内有一个多面体,该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形,则的最小值是(    )

A.     B.     C.     D.

 

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9. 难度:中等

我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式 的值的秦九韶算法,即将改写成如下形式: ,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图,则在空白的执行框内应填入(    )

A.     B.     C.     D.

 

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10. 难度:中等

已知函数 ), ,若的最小值为,且的图象关于点对称,则函数的单调递增区间是(    )

A.     B.

C.     D.

 

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11. 难度:简单

过正方体的顶点作平面,使棱所在直线与平面所成角都相等,则这样的平面可以作(    )

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

 

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12. 难度:困难

已知函数是定义在上的奇函数,且当时, ,则对任意,函数的零点个数至多有(   )

A. 3个    B. 4个    C. 6个    D. 9个

 

二、填空题
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13. 难度:简单

,则__________

 

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14. 难度:简单

,则__________

 

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15. 难度:中等

已知 ,若向量满足,则的取值范围是__________

 

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16. 难度:困难

已知各项都为整数的数列中, ,且对任意的,满足 ,则__________

 

三、解答题
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17. 难度:中等

已知中, .

(Ⅰ)求边的长;

(Ⅱ)设边上一点,且的面积为,求的正弦值.

 

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18. 难度:中等

某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:

质量指标值

等级

三等品

二等品

一等品

 

从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:

(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?

(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;

(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?

 

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19. 难度:中等

如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, , .

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)设是棱上的点,当平面时,求二面角的余弦值.

 

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20. 难度:困难

已知椭圆)的离心率为 分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆)的一条直线的两个端点.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与抛物线)相交于两点,射线 与椭圆分别相交于点,试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.

 

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21. 难度:困难

已知函数 .

(1)证明: ,直线都不是曲线的切线;

(2)若,使成立,求实数的取值范围.

 

四、填空题
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22. 难度:中等

选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系中,曲线的参数方程是为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(Ⅰ)写出曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)设点分别在上运动,若的最小值为1,求的值.

 

五、解答题
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23. 难度:简单

选修4-5:不等式选讲

已知函数.

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)若,求的取值范围.

 

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