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2017届江西省高三4月联考数学(理)试卷(解析版)
一、选择题
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1. 难度:中等

已知为虚数单位, ,复数,若为负实数,则的取值集合为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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2. 难度:中等

已知集合,集合,则集合为(  )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:中等

展开式中, 二项式系数的最大值为 ,含项的系数为,则(     )

A.     B.     C.     D.

 

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4. 难度:中等

已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直, 交于两点,且 为抛物线准线上一点,则的面积为(        )

A. 16    B. 18    C. 24    D. 32

 

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5. 难度:中等

给出下列四个命题:

①“若的极值点,则”的逆命题为真命题;

②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是

③若命题,则

④命题“,使得”的否定是:“均有”.

其中不正确的个数是(      )

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

 

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6. 难度:中等

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为(     )

A.     B.     C.     D.

 

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7. 难度:中等

若执行如右图所示的程序框图,输出的值为4,则判断框中应填入的条件是(   )

A.     B.     C.     D.

 

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8. 难度:中等

已知,则(   )

 

A.     B.

C.     D.

 

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9. 难度:中等

某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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10. 难度:中等

若一个四位数的各位数字相加和为,则称该数为“完美四位数”,如数字“”.试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有(   )个

A.     B.     C.     D.

 

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11. 难度:中等

已知双曲线与双曲线的离心率相同,且双曲线的左、右焦点分别为 是双曲线一条渐近线上的某一点,且 ,则双曲线的实轴长为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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12. 难度:中等

已知定义在上的函数与其导函数满足,若,则点所在区域的面积为(     )

A. 12    B. 6    C. 18    D. 9

 

二、填空题
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13. 难度:中等

已知,若,则__________.

 

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14. 难度:中等

若正实数满足,则的最小值为_______.

 

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15. 难度:中等

已知等差数列的前项和为,并且,数列满足,记集合,若的子集个数为16,则实数的取值范围为_________.

 

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16. 难度:中等

已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:

;      ②;          ③

④函数上是增函数, 上是减函数.

其中为真命题的是___________(写出所有真命题的序号)

 

三、解答题
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17. 难度:中等

已知分别为锐角三个内角的对边,且

(Ⅰ)求的大小;

(Ⅱ)求的取值范围.

 

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18. 难度:中等

继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:

时间(分钟)

次数

8

14

8

8

2

 

以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.

(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望.

(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).

 

 

 

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19. 难度:困难

如图,多面体中,四边形是菱形, , 相交于 ,点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成角(锐角)的余弦值.

 

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20. 难度:中等

如图所示,在中, 的中点为,且,点的延长线上,且.固定边,在平面内移动顶点,使得圆与边,边的延长线相切,并始终与的延长线相切于点,记顶点的轨迹为曲线.以所在直线为轴, 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线的方程;

(Ⅱ)设动直线交曲线两点,且以为直径的圆经过点,求面积的取值范围.

 

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21. 难度:中等

已知函数

(Ⅰ)当 时, 恒成立,求的取值范围;

(Ⅱ)当 时,研究函数的零点个数;

(Ⅲ)求证: (参考数据: ).

 

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22. 难度:中等

选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程为,直线的参数方程为,定点.

(Ⅰ)以原点为极点, 轴的非负半轴为极轴,单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系,求圆的极坐标方程;

(Ⅱ)已知直线与圆相交于两点,求的值.

 

 

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23. 难度:中等

选修4-5:不等式选讲

已知关于的不等式的解集不是空集,记的最小值为

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若不等式的解集包含 ,求实数的取值范围.

 

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