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2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理试卷(解析版)
一、选择题
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1. 难度:简单

已知集合,集合,则(   )

A.     B.     C.     D.

 

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2. 难度:简单

已知复数 ),则“为纯虚数”的充分必要条件为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:中等

执行如图所示的程序框图,输出的值为(   )

A. 0    B. 3    C. 6    D. 8

 

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4. 难度:中等

,若,则(   )

A.     B.     C.     D.

 

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5. 难度:中等

已知 ,则 的大小关系是(   )

A.     B.     C.     D.

 

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6. 难度:困难

已知曲线 为参数), ,若曲线上存在点满足,则实数的取值范围为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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7. 难度:中等

甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,排法种数为(   )

A. 12    B. 40    C. 60    D. 80

 

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8. 难度:困难

某折叠餐桌的使用步骤如图所示,有如图检查项目:

项目①:折叠状态下(如图1),检查四条桌腿长相等;

项目②:打开过程中(如图2),检查

项目③:打开过程中(如图2),检查

项目④:打开后(如图3),检查

项目⑤:打开后(如图3),检查

在检查项目的组合中,可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”(   )

A. ①②③    B. ②③④    C. ②④⑤    D. ③④⑤

 

二、填空题
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9. 难度:简单

若等比数列满足 ,则公比__________,前项和__________

 

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10. 难度:中等

已知 ,满足的动点的轨迹方程为__________

 

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11. 难度:中等

中, .①__________;②若,则__________

 

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12. 难度:中等

若非零向量 满足 ,则向量 夹角的大小为__________

 

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13. 难度:中等

已知函数若关于的方程内有唯一实根,则实数的最小值是__________

 

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14. 难度:中等

已知实数 满足 的最大值是__________

 

三、解答题
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15. 难度:简单

已知是函数的一个零点. 

(Ⅰ)求实数的值;

(Ⅱ)求的单调递增区间.

 

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16. 难度:中等

据报道,巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港,通过这一港口,中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区,这相当于给中国平添了一条大动脉!在打造中巴经济走廊协议(简称协议)中,能源投资约340亿美元,公路投资约59亿美元,铁路投资约38亿美元,高架铁路投资约16亿美元,瓜达尔港投资约6.6亿美元,光纤通讯投资约为0.4亿美元.

    有消息称,瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量(单位:百万吨):

 

1月

2月

3月

4月

5月

6月

7月

8月

9月

10月

11月

12月

天津

24

22

26

23

24

26

27

25

28

24

25

26

上海

32

27

33

31

30

31

32

33

30

32

30

30

 

(Ⅰ)根据协议提供信息,用数据说明本次协议投资重点;

(Ⅱ)从表中12个月任选一个月,求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率;

(Ⅲ)将(Ⅱ)中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率,设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数,写出的数学期望(不需要计算过程).

 

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17. 难度:中等

如图,由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中, ,平面平面

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若的中点,求证: 平面

(Ⅲ)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求的值,若不存在,说明理由.

 

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18. 难度:中等

已知函数,其中实数

(Ⅰ)判断是否为函数的极值点,并说明理由;

(Ⅱ)若在区间上恒成立,求的取值范围.

 

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19. 难度:困难

已知椭圆 ,与轴不重合的直线经过左焦点,且与椭圆相交于 两点,弦的中点为,直线与椭圆相交于 两点.

(Ⅰ)若直线的斜率为1,求直线的斜率;

(Ⅱ)是否存在直线,使得成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.

 

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20. 难度:困难

已知含有个元素的正整数集 )具有性质:对任意不大于(其中)的正整数,存在数集的一个子集,使得该子集所有元素的和等于

(Ⅰ)写出 的值;

(Ⅱ)证明:“ ,…, 成等差数列”的充要条件是“”;

(Ⅲ)若,求当取最小值时的最大值.

 

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