2017届黑龙江省哈尔滨市高三第一次模拟考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合， ，则集合中元素的个数为（    ）

A. 4    B. 5    C. 6    D. 7

2. 难度：中等

已知复数，若复数对应的点在复平面内位于第四象限，则实数的取值范围是                                                                        （    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

设为等比数列的前项和， ，则的值为                       （    ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为        （    ）

A.

B.

C.

D.

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的值为（    ）

A.

B.

C.

D.

6. 难度：中等

平面向量满足， 在上的投影为，则的模为       （    ）

A. 2    B. 4    C. 8    D. 16

7. 难度：中等

已知曲线上任一点，在点处的切线与轴分别交于两点，若的面积为4，则实数的值为                                  （    ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为且交轴于，若，则双曲线的离心率为                           （    ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

为了响应国家发展足球的战略，哈市某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为（    ）

A. 30    B. 40    C. 60    D. 80

10. 难度：中等

把函数的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线对称，且，则（     ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：压轴

设函数是上的奇函数， ，当时， ，则时， 的图象与轴所围成图形的面积为（     ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

已知矩形中， ， 分别是上两动点，且，把四边形沿折起，使平面平面，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为                                                               （     ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：中等

设满足约束条件，则的取值范围是______

14. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______.

15. 难度：中等

设为数列的前项之积，即，若，当时， 的值为______

16. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，以线段为直径的圆与抛物线的准线切于，且的面积为，则抛物线的方程为________

三、解答题

17. 难度：中等

在中，设边所对的角分别为， 都不是直角，且

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

18. 难度：中等

为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生次考试的成绩．

数学	108	103	137	112	128	120	132
物理	74	71	88	76	84	81	86

（Ⅰ）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的说明；

（Ⅱ）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，求物理成绩与数学成绩的回归直线方程

（Ⅲ）若该生的物理成绩达到90分，请你估计他的数学成绩大约是多少？

（附： ）

19. 难度：中等

如图所示三棱柱中， 平面，四边形为平行四边形， .

（Ⅰ）若,求证： 平面；

（Ⅱ）若与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

20. 难度：中等

已知两点，动点在轴上的投影是，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过作互相垂直的两条直线交轨迹于，且分别是的中点.求证：直线恒过定点.

21. 难度：中等

已知函数， .

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，有恒成立，求实数的取值范围.

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.

23. 难度：中等

选修4—5：不等式选讲

已知为正实数，且

（Ⅰ）解关于的不等式；

（Ⅱ）证明：