吉林省2017届高三第五次摸底考试数学（理）试卷

一、选择题

1. 难度：简单

若集合则等于

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

复数（为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

在梯形中， ，则等于

A.     B.

C.     D.

4. 难度：中等

等差数列的前项和为，且，则公差等于

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

考拉兹猜想又名猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如下图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则三棱锥的体积为

A.     B.     C.     D.

8. 难度：简单

已知满足约束条件，则目标函数的最大值为

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

以下四个命题中是假命题的是

A. “昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿”此推理属于演绎推理.

B. “在平面中，对于三条不同的直线， ， ，若， 则，将此结论放到空间中也成立” 此推理属于合情推理.

C. “”是“函数 存在极值”的必要不充分条件.

D. 若，则的最小值为.

10. 难度：简单

如图，南北方向的公路， 地在公路正东处， 地在东偏北方向处，河流沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上一处建一座码头，向两地运货物，经测算，从到、到修建费用都为万元，那么，修建这条公路的总费用最低是（     ）万元

A.     B.     C.     D.

11. 难度：简单

大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有

A. 种    B. 种    C. 种    D. 种

12. 难度：中等

设函数的定义域为，如果使得成立，则称函数为“函数”. 给出下列四个函数：①；②；③；④, 则其中“函数”共有

A. 个    B. 个    C. 个    D. 个

二、填空题

13. 难度：中等

函数的单调递增区间为______________．

14. 难度：简单

的展开式中的第项的二项式系数为______________．（用数字作答）

15. 难度：中等

已知命题对任意的，命题存在，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是_________．

16. 难度：中等

已知数列为等比数列，且，则的最小值为______________

三、解答题

17. 难度：中等

在中， 分别是角的对边，且.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的面积.

18. 难度：中等

在四边形中，对角线垂直相交于点，且，．将沿折到的位置，使得二面角的大小为（如图）．已知为的中点，点在线段上，且．

（1）证明：直线；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19. 难度：中等

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班位女同学， 位男同学中随机

抽取一个容量为的样本进行分析.

（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少；

（Ⅱ）随机抽取位同学，数学成绩由低到高依次为： ；物理成绩由低到高依次为： ，若规定分（含分）以上为优秀，记为这位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求的分布列和数学期望.

20. 难度：困难

已知是椭圆的左、右焦点， 为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）圆是以为直径的圆，一直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点、，当，且满足时，求的面积的取值范围．

21. 难度：压轴

设，曲线在点处的切线与直线垂直. （Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证： .

22. 难度：中等

选修4－4：坐标系与参数方程．

在平面直角坐标系中，抛物线 的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（ 为参数），与交于两点， ，求的斜率．

23. 难度：简单

选修4－5：不等式选讲

    已知函数.

    （Ⅰ）解不等式；

    （Ⅱ）若的定义域为，求实数的取值范围．