1. 难度:中等 | |
已知集合,则 ( ) A. B. C. D.
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2. 难度:中等 | |
欧拉(,国籍瑞士)是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他发明的公式(为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知,表示的复数在复平面内位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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3. 难度:中等 | |
下列命题中,正确的是( ) A. , B. 且, C. 已知为实数,则是的充分条件 D. 已知为实数,则的充要条件是
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4. 难度:中等 | |
已知圆(为坐标原点)经过椭圆的短轴端点和两个焦点,则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D.
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5. 难度:中等 | |
已知等差数列满足,则等于 ( ) A. 31 B. 32 C. 61 D. 62
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6. 难度:中等 | |
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于 ( ) A. B. C. D. 15
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7. 难度:中等 | |
已知函数的最大值为,最小值为,则等于( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
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8. 难度:中等 | |
如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的值分别为21,28,则输出的值为( ) A. 14 B. 7 C. 1 D. 0
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9. 难度:中等 | |
已知函数在点处的切线为,若与二次函数的图象也相切,则实数的取值为( ) A. 12 B. 8 C. 0 D. 4
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10. 难度:中等 | |
已知的三个顶点坐标为, 为坐标原点,动点满足, 则的最大值是( ) A. B. C. D.
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11. 难度:中等 | |
已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点,点是双曲线在第一象限内的点,直线分别交双曲线的左、右支于另一点,若,且,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D.
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12. 难度:中等 | |
定义在上的函数,当时, ,且对任意实数,都有.若有且仅有三个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D.
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13. 难度:中等 | |
已知实数满足条件,若目标函数的最小值为3,则其最大值为__________.
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14. 难度:中等 | |
设二项式展开式中的常数项为,则的值为__________.
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15. 难度:中等 | |
已知是球的球面上三点,且, 为该球面上的动点,球心到平面的距离为球半径的一半,则三棱锥体积的最大值为__________.
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16. 难度:中等 | |
如图,平面四边形中, , , ,则的长为__________.
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17. 难度:中等 | |
已知向量,函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)在锐角中,内角的对边分别为, 对任意满足条件的,求的取值范围.
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18. 难度:中等 | |||||||||||
某品牌汽车的店,对最近100份分期付款购车情况进行统计,统计情况如下表所示.已知分9期付款的频率为0.4;该店经销一辆该品牌汽车,若顾客分3期付款,其利润为1万元;分6期或9期付款,其利润为2万元;分12期付款,其利润为3万元.
(1)若以上表计算出的频率近似替代概率,从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3为顾客,求事件:“至多有1位采用分6期付款“的概率; (2)按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取3人,记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量,求的分布列和数学期望.
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19. 难度:中等 | |
如图所示,已知长方体中, , 为的中点,将沿折起,使得.
(1)求证:平面平面; (2)是否存在满足的点,使得二面角为大小为?若存在,求出相应的实数;若不存在,请说明理由.
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20. 难度:中等 | |
设抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,过点的直线交抛物线于两点,线段的长度为8, 的中点到轴的距离为3. (1)求抛物线的标准方程; (2)设直线在轴上的截距为6,且抛物线交于两点,连结并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线的方程.
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21. 难度:中等 | |
已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)若时,均有成立,求实数的取值范围.
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22. 难度:中等 | |
选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,与直角坐标系取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)化曲线的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)设曲线与轴的一个交点的坐标为,经过点作斜率为1的直线, 交曲线于两点,求线段的长.
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23. 难度:中等 | |
选修4-5:不等式选讲 已知函数的最小值为. (1)求的值; (2)若是正实数,且,求证: .
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