2017届北京市石景山区高三3月统一练习数学文试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合， ，那么等于（   ）

A.     B.

C.     D.

2. 难度：中等

以为圆心且与直线相切的圆的方程是（   ）

A.     B.

C.     D.

3. 难度：中等

下列函数中，偶函数是（   ）

A.     B.

C.     D.

二、填空题

4. 难度：中等

设，“”是“”的（   ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

三、选择题

5. 难度：中等

我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求次多项式当时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．

例如，可将3次多项式改写为： 之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（   ）的值．

A.

B.

C.

D.

6. 难度：简单

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（    ）

A.     B.     C.     D. 5

7. 难度：中等

如图，在矩形中， ， ，点为的中点，点在边上，若，则的值是（   ）

A.     B. 1    C.     D. 2

8. 难度：中等

21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（   ）

A. 19    B. 38    C. 51    D. 57

四、填空题

9. 难度：中等

若复数是纯虚数，则实数__________．

10. 难度：中等

已知实数满足，那么的最大值是__________．

11. 难度：简单

若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则__________．

12. 难度：中等

已知函数．若，则的取值范围是__________．

13. 难度：中等

若函数的部分图象如图所示，则__________．

14. 难度：中等

在环境保护部公布的2016年74城市PM2.5月均浓度排名情况中，某14座城市在74城的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为某三座城市．

从排名情况看，

① 在甲、乙两城中，2月份名次比1月份名次靠前的城市是_________；

②在第1季度的三个月中，丙城市的名次最靠前的月份是_________．

五、解答题

15. 难度：中等

数列中， ， （是常数， ），且， ， 成公比不为1的等比数列．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的通项公式．

16. 难度：中等

已知分别是的三个内角的三条对边，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）求的最大值．

17. 难度：中等

“累积净化量（CCM）”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801-2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量（CCM）有如下等级划分：

累积净化量（克）				12以上
等级	P1	P2	P3	P4

为了了解一批空气净化器（共2000台）的质量，随机抽取台机器作为样本进行估计，已知这台机器的累积净化量都分布在区间中．按照， ， ， ， 均匀分组，其中累积净化量在的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求的值及频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？

（Ⅲ）从累积净化量在的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．

18. 难度：中等

如图，在中， 为直角， ．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积；

（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．

19. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）过原点作曲线的切线，求切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论曲线与曲线公共点的个数．

20. 难度：困难

已知椭圆过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于、两点，以为对角线作正方形，记直线与轴的交点为，问、两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．